YOMEDIA
NONE

Xét các số phức \(\text{w}\), \(z\) thỏa mãn \(\left| \text{w}+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\) và \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right|\).

A. \(7\).                           

B. \(2\sqrt{53}\).          

C. \(2\sqrt{58}\).          

D. \(4\sqrt{13}\).

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Dang Tung

    Ta có: \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\Leftrightarrow 5w+5i=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)+5i\)

    \(\Rightarrow \left| 5w+5i \right|=\left| \left( 2+i \right)\left( z-4 \right)+5i \right|\Rightarrow 5\left| w+i \right|=\left| \left( 1+2i \right)\left( z-4+1+2i \right) \right|=\sqrt{5}\left| z-3+2i \right|\)

    \(\Rightarrow 5.\frac{3\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}\left| z-3+2i \right|\Rightarrow \left| z-3+2i \right|=3\).

    Ta có:

    \({{\left| z+{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| z \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}} \right);\,\,\forall z,\,{{z}_{1}}\). (1)

    \({{\left| z \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}\ge \frac{{{\left( \left| z \right|+\left| {{z}_{1}} \right| \right)}^{2}}}{2};\,\,\forall z,\,{{z}_{1}}\). (2)

    Ta có: \(P=\left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right|=\left| z-3-2i+3 \right|+\left| z-3-2i-3 \right|\).

    Áp dụng (1) và (2), ta có:

    \({{\left| z-3-2i+3 \right|}^{2}}+{{\left| z-3-2i-3 \right|}^{2}}=2\left( {{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+9 \right)\).

    \({{\left| z-3-2i+3 \right|}^{2}}+{{\left| z-3-2i-3 \right|}^{2}}\ge \frac{{{\left( \left| z-3-2i+3 \right|+\left| z-3-2i-3 \right| \right)}^{2}}}{2}=\frac{{{\left( \left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right| \right)}^{2}}}{2}\).

    Vậy, ta có: \(\frac{{{\left( \left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right| \right)}^{2}}}{2}\le 2\left( {{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+9 \right)\Rightarrow {{\left( \left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right| \right)}^{2}}\le 4\left( {{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+9 \right)\).

    \(\Rightarrow {{P}^{2}}\le 4\left( {{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+9 \right)\).

    Do \(4\left( {{\left| z-3-2i \right|}^{2}}+9 \right)=4\left( {{\left| z-3+2i-4i \right|}^{2}}+9 \right)\) nên \({{P}^{2}}\le 4\left( {{\left( \left| z-3+2i \right|+\left| -4i \right| \right)}^{2}}+9 \right)\)

    \(\Rightarrow {{P}^{2}}\le 4\left( {{7}^{2}}+9 \right)=232\Rightarrow P\le 2\sqrt{58}\).

      bởi Dang Tung 15/05/2023
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF