ADMICRO
VIDEO
  • Câu hỏi:

    Cho a, b, c > 1. Biết rằng biểu thức \(P = {\log _a}\left( {bc} \right) + {\log _b}\left( {ac} \right) + 4{\log _c}\left( {ab} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi \({\log _b}c = n.\) Tính giá trị m + n.

    • A. m + n = 14
    • B. \(m + n = \frac{{25}}{2}\)
    • C. m + n = 12
    • D. m + n = 10

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: C

    Do a, b, c > 1 nên \({\log _a}b,{\log _c}a,{\log _b}c > 0\) 

    \(\begin{array}{l}
    P = \log {}_a(bc) + lo{g_b}(ac) + 4{\log _c}(ab) = lo{g_a}b + {\log _a}c + {\log _b}a + {\log _b}c + 4{\log _c}a + 4{\log _a}b\\
     = \left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right) + \left( {{{\log }_a}c + 4{{\log }_c}a} \right) + \left( {{{\log }_b}c + 4{{\log }_c}b} \right)\\
     = \left( {{{\log }_a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{{\log }_c}a}} + 4{{\log }_c}a} \right) + \left( {{{\log }_b}c + \frac{4}{{{{\log }_b}c}}} \right)\\
     \ge 2\sqrt {{{\log }_a}b.\frac{1}{{{{\log }_a}b}}}  + 2\sqrt {\frac{1}{{{{\log }_c}a}}.4{{\log }_c}a}  + 2\sqrt {{{\log }_b}c.\frac{4}{{{{\log }_b}c}}}  = 2 + 4 + 4 = 10.
    \end{array}\) 

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
    {\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\\
    \frac{1}{{{{\log }_c}a}} = 4{\log _c}a\\
    {\log _b}c = \frac{4}{{{{\log }_c}b}}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \log {}_ab = 1\\
    {\log _c}a = \frac{1}{2}\\
    \log {}_bc = 2
    \end{array} \right.\) 

    Vậy,  đạt giá trị nhỏ nhất là 10 khi \({\log _b}c = 2 \Rightarrow m = 10,n = 2 \Rightarrow m + n = 12\) 

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 68651

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ADMICRO

 

YOMEDIA
OFF