Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh bằng 1.

Do SABC là tứ diện đều, G là trọng tâm tam giác ABC

\( \Rightarrow SG \bot (ABC)\) 

=> Thể tích khối tứ diện SAMN: \(V = \frac{1}{3}.SG.{S_{AMN}}\)

+)  Tam giác ABC đều, cạnh bằng 1

\( \Rightarrow AJ = \frac{{1.\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \frac{2}{3}.AJ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\) 

Tam giác SAG vuông tại \(G \Rightarrow SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {1 - \frac{1}{3}}  = \sqrt {\frac{2}{3}} \) 

+) Diện tích tam giác AMN:

\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AN.AM.\sin A = \frac{1}{2}.AN.AM.\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.AN.AM\) 

Ta có \(\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} = 3\) 

Mà \(\frac{1}{{AM}} + \frac{1}{{AN}} \ge \frac{2}{{\sqrt {AM.AN} }} \Rightarrow 3 \ge \frac{2}{{\sqrt {AM.AN} }} \Rightarrow \frac{{\sqrt {AM.AN} }}{2} \ge \frac{1}{3} \Rightarrow AM.AN \ge \frac{4}{9}\) 

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {S_{AMN}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.AN.AM \ge \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{4}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\\
 \Rightarrow {V_{S.AMN}} \ge \frac{1}{3}.\sqrt {\frac{2}{3}} .\frac{{\sqrt 3 }}{9} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}
\end{array}\) 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(AM = AN = \frac{2}{3}\) 

\( \Rightarrow {\left( {{V_{SAMN}}} \right)_{\min }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{27}}\) khi và chỉ khi \(AM = AN = \frac{2}{3}\) hay MN là đường thẳng qua G song song với BC