YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho hàm số \(y = \frac{x}{{1 - x}}\left( C \right).\) Tìm m để đường thẳng \(d:y = mx - m - 1\) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất với A(-1;1).

    • A. m = 2
    • B. m = 0
    • C. m = 1
    • D. m = -1

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: \(\frac{x}{{1 - x}} = mx - m - 1,\left( {x \ne 1} \right)\) 

    \( \Leftrightarrow x = mx - m - 1 - m{x^2} + mx + x \Leftrightarrow m{x^2} - 2mx + m + 1 = 0\) (1)

    Để (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

    \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m \ne 0\\
    \Delta ' > 0\\
    m{.1^2} - 2m.1 + m + 1 \ne 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m \ne 0\\
    {m^2} - m(m + 1) > 0\\
    1 \ne 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\) 

    Khi đó, giả sử \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của (1), áp dụng định lsy Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
    {x_1} + {x_2} = 2\\
    {x_1}{x_2} = \frac{{m + 1}}{m}
    \end{array} \right.\) 

    Tọa độ giao điểm là: \(A\left( {{x_1};m{x_1} - m - 1} \right),B\left( {{x_2};m{x_2} - m - 1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \overline {AM}  = \left( {{x_1} + 1;m{x_1} - m - 2} \right)\\
    \overrightarrow {AN}  = \left( {{x_2} + 1;m{x_2} - m - 2} \right)
    \end{array} \right.\) 

    Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {x_I} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{2}{2} = 1\\
    {y_I} = \frac{{m{x_1} - m - 1 + m{x_2} - m - 1}}{2} =  - 1
    \end{array} \right. \Rightarrow I(1; - 1)\) 

    Ta có: \(A{M^2} + A{N^2} = {\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IN} } \right)^2} = 2A{I^2} + 2\overrightarrow {AI} .\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {IN} } \right) + I{M^2} + I{N^2} = 2A{I^2} + \frac{1}{2}M{N^2}\) 

    Do vậy, \({\left( {A{M^2} + A{N^2}} \right)_{\min }}\) khi và chỉ khi MNmin.

    Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( {{x_2} - {x_1};m{x_2} - m{x_1}} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {\left( {1 + {m^2}} \right){{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {1 + m} \right)}^2}({{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2})} \) 

    \( = \sqrt {\left( {1 + {m^2}} \right)\left( {4 - \frac{{4\left( {m + 1} \right)}}{n}} \right)}  = \sqrt {\frac{{ - 4\left( {1 + {m^2}} \right)}}{m}}  = \sqrt {\frac{4}{{( - m)}} + ( - 4m)}  \ge \sqrt {2.\sqrt {\frac{4}{{ - m}}.( - 4m)} }  = 2\sqrt 2 \) 

    \( \Rightarrow M{N_{\min }} = 2\sqrt 2 \) khi và chỉ khi \(\frac{4}{{ - m}} =  - 4m \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    m = 1(ktm)\\
    m =  - 1(tm)
    \end{array} \right.\) 

    Vậy để \({\left( {A{M^2} + A{N^2}} \right)_{\min }}\) thì m = -1.

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 68678

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF