Tìm m để hàm số y=3x/x^2+1 đạt giá trị lớn nhất tại x = 1 trên đoạn [-2; 2]

Xét hàm số \(y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\), ta có\(y' = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right) - 2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{m\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\1 - {x^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\)

Ta có: \(f\left( 1 \right) = \frac{m}{2};f\left( { - 1} \right) =  - \frac{m}{2};f\left( 2 \right) = \frac{{2m}}{5};f\left( { - 2} \right) =  - \frac{{2m}}{5}\)

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) khi và chỉ khi \(f\left( 1 \right) > \left\{ {f\left( { - 1} \right);f\left( 2 \right);f\left( { - 2} \right)} \right\} \Leftrightarrow m > 0.\)