Giá trị nhỏ nhất của hàm số (fleft( x ight) = sqrt {{x^2} + 1} - xln left( {x + sqrt {{x^2} + 1} } ight))

Ta có \(f'\left( x \right) = \left[ {\sqrt {{x^2} + 1}  - x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]' = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( { - 1} \right) = \sqrt 2  + \ln \left( {\sqrt 2  - 1} \right)}\\{f\left( 0 \right) = 1}\\{f\left( 1 \right) = \sqrt 2  - \ln \left( {\sqrt 2  + 1} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = f\left( 1 \right) = \sqrt 2  - \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right).\)