Nếu kích thước của hồ nước được tính toán để chi phí thuê nhân công là ít nhất thì chi phí đó là bao nhiêu?

Đặt chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật là x (x > 0)

Chiều dài của đáy hình hộp chữ nhật là \(\frac{3}{2}x.\)

Chiều cao của hình hộp chữ nhật h.

Thể tích của hình hộp chữ nhật là:

\(V = \frac{3}{2}.x.x.h = \frac{{3{x^2}h}}{2} = \frac{{288}}{5} \Leftrightarrow h = \frac{{192}}{{5{x^2}}}.\)

Gọi S là diện tích phần cần xây hồ, \({S_1}\) là diện tích đáy hồ.

Ta có: \(S = {S_{xq}} + {S_1} = \left( {\frac{3}{2}x + x} \right).2.h + \frac{3}{2}x.x = 5x.h + \frac{3}{2}{x^2}\)

\( = 5x.\frac{{192}}{{5{x^2}}} + \frac{3}{2}{x^2} = \frac{{192}}{x} + \frac{3}{2}{x^2}\)

Để chi phí thuê nhân công thấp nhất thì \(S = f(x) = \frac{3}{2}{x^2} + \frac{{192}}{x}\) với x > 0 phải đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có: \(f'(x) = 3x - \frac{{192}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 64 \Leftrightarrow x = 4\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{x > 0} \,f(x) = f(4) = 72\)

Vậy \({S_{\min }} = 72{m^2}\)

Vì giá thuê nhân công để xây hồ là 500 000 đồng/\({m^2}\) nên chi phí thuê nhân công thấp nhất là:

500 000.72 = 36 000 000 (đồng) = 36 (triệu đồng).