YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho hình chóp S. ABCDABCD là hình chữ nhật tâm I  cạnh AB = 3a, BC = 4a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm ID . Biết rằng SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc \(45^0\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD.

    • A. \(\frac{{125\pi }}{2}{a^2}\)
    • B. \(4\pi {a^2}\)
    • C. \(\frac{{25\pi }}{2}{a^2}\)
    • D. \(\frac{{125\pi }}{4}{a^2}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Gọi H là trung điểm của ID \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) 

    Qua I dựng đường thẳng d song song với SH, đường thẳng này chính là

    trục của hình chóp S.ABCD.

    Dựng đường thẳng trung trực của cạnh SB, cắt đường thẳng d tại K.

    Khi đó K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

    Ta có: \(\angle \left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB,BH} \right) = \angle SBH = {45^0}\) 

    \(BD = 5a \Rightarrow BH = \frac{3}{4}BD = \frac{{15a}}{4} = SH \Rightarrow SB = BH\sqrt 2  = \frac{{15a\sqrt 2 }}{4}\) 

    Gọi \(E = d \cap SB\). Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{IE}}{{AH}} = \frac{{IB}}{{BH}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow IE = \frac{2}{3}SH = \frac{{5a}}{2}\)  

    \(\begin{array}{l}
    \frac{{EB}}{{SB}} = \frac{{IB}}{{HB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EB = \frac{2}{3}SB = \frac{{5a\sqrt 2 }}{2};AM = MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{15a\sqrt 2 }}{8}\\
     \Rightarrow EM = EB - MB = \frac{{5a\sqrt 2 }}{8}
    \end{array}\) 

    \(\angle SBH = {45^0} \Rightarrow \angle MEK = {45^0} \Rightarrow \Delta EMK\) vuông cân tại \(M \Rightarrow MK = ME = \frac{{5a\sqrt 2 }}{8}\) 

    Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MBK ta có:

    \(KB = \sqrt {K{M^2} + M{B^2}}  = \sqrt {\frac{{25{a^2}}}{{32}} + \frac{{225{a^2}}}{{32}}}  = \frac{{5\sqrt 5 a}}{4} = R\) 

    Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{125\pi }}{4}{a^2}\) 

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 88286

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF