Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x + {m^2}}}\) có giá trị lớn nh

Điều kiện: \(x \ne  - {m^2}\) 

Ta có: \(y' = \frac{{{m^3} - 1}}{{{{\left( {x + {m^2}} \right)}^2}}}\) 

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Ta có \(x \ne  - {m^2} < 0 \Rightarrow x \in \left[ {2;3} \right] \Rightarrow \) hàm số luôn xác định với mọi m.

Có: \(y\left( 2 \right) = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}};y\left( 3 \right) = \frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 3}}\) 

TH1: Hàm số đạt GTLN tại \(x = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y' < 0\\
y\left( 2 \right) = \frac{5}{6}
\end{array} \right.\) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{m^3} - 1 < 0\\
\frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} = \frac{5}{6}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
5{m^2} - 12m + 4 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
\left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = \frac{2}{5}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{2}{5}\) 

TH2: Hàm số đạt GTLN tại \(x = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y' > 0\\
y\left( 3 \right) = \frac{5}{6}
\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
{m^3} - 1 > 0\\
\frac{{3m + 1}}{{{m^2} + 3}} = \frac{5}{6}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
5{m^2} - 18m + 9 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
\left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = \frac{3}{5}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\)

\( \Rightarrow T = 3 + \frac{2}{5} = \frac{{17}}{5}\)