Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) để hàm số\(f\left( x \right)

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\). Ta có: \(f'\left( x \right) = \ln x + \frac{{x + 1}}{x} + 2 - m\) 

Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;{e^2}} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;{e^2}} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \ln x + \frac{{x + 1}}{x} + 2 - m \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;{e^2}} \right)\\
 \Leftrightarrow g\left( x \right) = \ln x + \frac{{x + 1}}{x} + 2 \ge m\,\,\,\forall x \in \left( {0;{e^2}} \right)\\
 \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;{e^2}} \right]} g\left( x \right)
\end{array}\) 

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = \,\,\ln x + \frac{{x + 1}}{x} + 2\left( {x > 0} \right)\) ta có:

\(g'\left( x \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\,\,(ktm)\\
x = 1
\end{array} \right.\) 

Ta có BBT:

Từ BBT \(\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;{e^2}} \right]} g\left( x \right) = 4 \Rightarrow m < 4\) 

Lại có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m \in Z\\
m \in \left[ { - 2018;2018} \right]
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \in Z\\
m \in \left[ { - 2018;4} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow m = \left\{ { - 2018; - 2017;...;2;3} \right\}
\end{array}\) 

Vậy có 2022 giá trị của m thỏa mãn