Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 1;0} \right),C\left( {0;0;1} \right),D\left( {1; - 1;1} \right)\).

Dễ dàng tính được \(AB = BC = CD = DA = \sqrt 2  \Rightarrow \) Tứ diện ABCD là tứ diện đều.

\(\Rightarrow \) Tâm mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện chính là tâm của tứ diện đều.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD \( \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{2};1} \right)\) 

Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) là tâm của tứ diện ABCD.

Bán kính mặt cầu cần tìm là \(R = d\left( {I;AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\) 

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;0;1} \right)\\
\overrightarrow {AD}  = \left( {0; - 1;1} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) là 1 VTPT của (ACD).

\(\Rightarrow \) Phương trình (ACD) là: \(\left( {x - \frac{1}{2}} \right) + \left( {y + \frac{1}{2}} \right) + \left( {z - \frac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - \frac{1}{2} = 0\) 

\(d\left( {I;\left( {ACD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt 3 }} = 0 \Rightarrow I \in \left( {ACD} \right)\). Do đó mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện ABCD cắt (ACD) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{6} \Rightarrow S = \pi {R^2} = \frac{\pi }{6}\)