Vận dụng 1 trang 82 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Phương pháp giải:

a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm ${x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$ và điểm ${x_0} = 400$, từ đó đưa ra kết luận.

b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm ${x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$.

Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)$ và $P\left( {400} \right)$.

Bước 3: Giải phương trình $\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right) = P\left( {400} \right)$ để tìm $k$.

a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm ${x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$ và điểm ${x_0} = 400$, từ đó đưa ra kết luận.

b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm ${x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$.

Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)$ và $P\left( {400} \right)$.

Bước 3: Giải phương trình $\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right) = P\left( {400} \right)$ để tìm $k$.

Lời giải chi tiết:

a) Với $k = 0$, hàm số có dạng $P\left( x \right)$$= \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.$

• Với mọi ${x_0} \in \left( {0;400} \right)$, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4,5x} \right)$$= 4,5\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4,5{x_0}$$= P\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số $y = P\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( {0;400} \right)$.

• Với mọi ${x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4x} \right)$$= 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số $y = P\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$.

• $f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x = 4.400 = 1600$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} x = 4,5.400 = 1800$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right)$$\ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} {\rm{ }}P\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)$.

Vậy hàm số không liên tục tại điểm ${x_0} = 400$.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ không liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Xét hàm số $P\left( x \right)$$= \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x + k}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.$ ($k$ là một hãng số)

Hàm số liên tục trên các khoảng $\left( {0;400} \right)$ và $\left( {400; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x + k} \right)$$= 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} k = 4.400 + k = 1600 + k$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} \left( {4,5x} \right)$$= 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} x$$= 4,5.400 = 1800$.

Để hàm số $y = P\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$ thì hàm số $y = P\left( x \right)$ phải liên tục tại điểm ${x_0} = 400$.

Để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 400$ thì:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = f\left( {400} \right)$$\Leftrightarrow 1600 + k = 1800 \Leftrightarrow k = 200$

Vậy với $k = 200$ thì hàm số $P\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$

-- Mod Toán 11 HỌC247