Hoạt động khám phá 3 trang 82 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Phương pháp giải:

a) Điều kiện để hàm số có nghĩa là mẫu khác 0 và biểu thức trong căn không âm.

b) Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.

Lời giải chi tiết:

a) • \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\)

ĐKXĐ: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)

Vậy hàm số có tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

• \(y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} \)

ĐKXĐ: \(4 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4\)

Vậy hàm số có tập xác định: \(D = \left( { - \infty ;4} \right]\).

b) • Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}} = \frac{1}{{{x_0} - 1}} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\).

Tương tự ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có: Hàm số không xác định tại điểm \({x_0} = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x - 1}} = - \infty \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

• Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;4} \right)\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {4 - x} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 4 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x} = \sqrt {4 - {x_0}} = g\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( { - \infty ;4} \right)\).

Ta có: \(g\left( 4 \right) = \sqrt {4 - 4} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {4 - x} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} 4 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} x} = \sqrt {4 - 4} = 0 = g\left( 4 \right)\)

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 4\).

Hàm số không xác định tại mọi \({x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)\).

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\).

-- Mod Toán 11 HỌC247