Vận dụng 3 trang 84 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Phương pháp giải:

a) Viết hàm số biểu thị phương trình đường tròn \(\left( C \right)\), dựa vào dữ kiện của đề bài, tính \(OM,NP\) sau đó tính diện tích \(S\left( x \right)\) của tam giác \(ONP\).

b) Sử dụng tính chất liên tục của các hàm số sơ cấp.

c) Áp dụng các công thức tính giới hạn của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 1 \)\( \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {1 - {x^2}} \).

Độ dài \(OM\) chính là giá trị tuyệt đối của hoành độ của điểm \(M\). Vậy \(OM = \left| x \right|\).

Độ dài \(MN\) chính là giá trị tuyệt đối của tung độ của điểm \(N\). Vậy \(MN = \left| {\sqrt {1 - {x^2}} } \right| = \sqrt {1 - {x^2}} \).

\(S\left( x \right) = {S_{ONP}} \)\( = \frac{1}{2}.NP.OM = MN.OM\)\( \)\(  = \sqrt {1 - {x^2}} .\left| x \right|\).

b) Xét hàm số \(S\left( x \right) \)\( = \sqrt {1 - {x^2}} .\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sqrt {1 - {x^2}} }&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{ - x\sqrt {1 - {x^2}} }&{khi\,\, - 1 \le x < 0}\end{array}} \right.\).

ĐKXĐ: \(1 - {x^2} \ge 0\)\(  \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\)

Hàm số \(S\left( x \right)\) có tập xác định là \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) xác định trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Ta có: \(S\left( 0 \right) = 0.\sqrt {1 - {0^2}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) \)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0.\sqrt {1 - {0^2}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S\left( x \right)\)\(  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = - 0.\sqrt {1 - {0^2}} = 0\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) \)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S\left( x \right) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} S\left( x \right) = 0 = S\left( 0 \right)\)

Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\). Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} S\left( x \right) \)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\)\(  = 1.\sqrt {1 - {1^2}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} S\left( x \right) \)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( { - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\)\(  = - 1.\sqrt {1 - {{\left( { - 1} \right)}^2}} = 0\)

-- Mod Toán 11 HỌC247