Hoạt động 2 trang 113 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Phương pháp giải

- Cho hàm số \(y = f(x)\)  xác định trên \(({x_0};b)\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy \(({x_n})\) thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L\).

- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a;{x_0})\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy \(({x_n})\) thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = L\).

Lời giải chi tiết

a, Với \({x_n} = \frac{n}{{n + 1}}\)\( \Rightarrow {y_n} = f\left( {{x_n}} \right) \)\(= \frac{{\left| {\frac{n}{{n + 1}} - 1} \right|}}{{\frac{n}{{n + 1}} - 1}}\)

Do \(n < n + 1 \)\(\Rightarrow \frac{n}{{n + 1}} < 1 \)\(\Rightarrow \frac{n}{{n + 1}} - 1 < 0\)

\[ \Rightarrow {y_n} = \frac{{ - \left( {\frac{n}{{n + 1}} - 1} \right)}}{{\frac{n}{{n + 1}} - 1}} =  - 1\]

Với \(x_n^\prime  = \frac{{n + 1}}{n} \Rightarrow y_n^\prime  = f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{\left| {\frac{{n + 1}}{n} - 1} \right|}}{{\frac{{n + 1}}{n} - 1}}\)

Do \(n + 1 > n \Rightarrow \frac{{n + 1}}{n} > 1 \Rightarrow \frac{{n + 1}}{n} - 1 > 0\)

\({y_n} = \frac{{\frac{{n + 1}}{n} - 1}}{{\frac{{n + 1}}{n} - 1}} = 1\)

b) \(\lim \left( {{y_n}} \right) = \lim \left( { - 1} \right) =  - 1\)

\(\lim \left( {{{y'}_n}} \right) = \lim 1 = 1\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right) =  - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {x{'_n}} \right) = 1\).

-- Mod Toán 11 HỌC247