Giải Bài 5.12 trang 118 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT

Phương pháp giải

a, Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là bậc cao nhất.

b, Nhân với biểu thức liên hợp 

\(\left( {\sqrt A  - B} \right).\left( {\sqrt A  + B} \right) = A - {B^2}\)

Lời giải chi tiết

a) 

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x} - 2}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} \\ = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 1 }} = - 2 \end{array}\)

b) Ta có:

 \(\begin{array}{l} \sqrt {{x^2} + x + 2} - x \\ = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} } \right)}^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\\ = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}} \end{array}\)

Do đó

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{x\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}} = \frac{1}{2} \end{array}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247