Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Xét phương trình: \(2^{x+1}=\frac{1}{4}\)

a) Khi viết \(\frac{1}{4}\) thành luỹ thừa của 2 thì phương trình trên trở thành phương trình nào?

b) So sánh số mũ của 2 ở hai vế của phương trình nhận được ở câu a để tìm x.

Giải các phương trình sau: 

a)\(2^{3x-1}=\frac{1}{2^{x+1}}\)

b)\(2e^{2x}=5\)

Xét phương trình: \(2\log_{2}x=-3\)

a) Từ phương trình trên, hãy tính \(\log_{2}x\)

b) Từ kết quả ở câu a và sử dụng định nghĩa lôgarit, hãy tìm x.

Giải các phương trình sau:

a)\(4-\log(3-x)=3\)

b)\(\log_{2}(x+2)+\log_{2}(x-1)=1\)

Cho đồ thị của các hàm số \(y=2^{x}\) và y = 4 như Hình 6.7. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số \(y=2^{x}\) nằm phía trên đường thẳng y = 4 và từ đó suy ra tậpnghiệm của bất phương trình \(2^{x}\) >4.

Giải các bất phương trình sau:

a)\(0,1^{2x-1}\leq 0,1^{2-x}\)

b)\(3.2^{x+1}\leq 1\)

Cho đồ thị của các hàm số \(y=\log_{2}x\) và y = 2 như Hình 6.8. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số \(y=\log_{2}x\) nằm phía trên đường thẳng y = 2 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình \(y=\log_{2}x\).

 Giải các bất phương trình sau:

a)\(\log_{\frac{1}{7}}(x+1) > \log_{7}(2-x)\)

b)\(2\log(2x+1)> 3\)

Áp suất khí quyển p (tính bằng kilopascal, viết tắt là kPa) ở độ cao h (so với mực nước biển, tính bằng km) được tính theo công thức sau:

\(ln(\frac{p}{100})=-\frac{h}{7}\)

a) Tính áp suất khí quyển ở độ cao 4 km.

b) Ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?
(Theo britannica.com)

Giải phương trình sau:

a)\(3^{x-1}=27\)

b)\(100^{x^{2}-3}=0,1^{2x^{2}-18}\)

c)\(\sqrt{3} e^{3x}=1\)

d)\(5^{x}=3^{2x-1}\)

a) \(log(x+1)=2\)

b) \(2\log_{4}x+\log_{2}(x-3)=2\)

c) \(lnx+ln(x-1)=ln4x\)

d) \(\log_{3}(x^{2}-x+2)=log_{3}(2x-4)\)

Giải các bất phương trình sau: 

a) \(0,1^{2-x}> 0,1^{4+2x}\)

b) \(2.5^{2x+1}\leq 3\)

c) \(log_{3}(x+7)\geq -1\)

d) \(\log_{0,5}(x+7)\geq \log_{0,5}(2x-1)\)

Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5% một năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau n năm là:

\(A=500 . (1+0,075)^{n }\)

Tinh thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).

Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy đó, đếm số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là 40% mỗi giờ. Khi đó số lượng vi khuẩn N(t) sau t giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức sau:

\(N(t)=500.e^{0,4t}\)

Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con?

Giả sử nhiệt độ \(T (^{\circ }C) \) của một vật giảm dần theo thời gian cho bởi công thức:

\(T=25+70e^{0,5t}\) trong đó thời gian t được tính bằng phút.
a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.
b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại \(30 ^{\circ }C\)?

Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8.

Giải các phương trình mũ sau:

a) \({4^{2x - 1}} = {8^{x + 3}}\);

b) \({9^{2x}} \cdot {27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}\)

c) \({\left( {{e^4}} \right)^x} \cdot {e^{{x^2}}} = {e^{12}}\)

d) \({5^{2x - 1}} = 20\).

Giải các phương trình lôgarit sau:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {4x - 1} \right) = 2\);

b) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3x + 3} \right)\);

c) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_x}81 = 2\);

d) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{8^x} = - 3\).

Giải các bát phương trình mũ sau:

a) \({2^{2x - 3}} > \frac{1}{4}\);

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{5x - 6}}\);

c) \({25^x} \le {5^{4x - 3}}\);

d) \({9^x} - {3^x} - 6 \le 0\).

Giải các bất phương trình lôgarit sau:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2x + 1} \right) \ge 2\);

b) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3x - 1} \right) < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {9 - 2x} \right)\);

c) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{1}{2}}}\left( {4\dot x - 5} \right)\);

d) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2x - 1} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}{(x + 1)^2}\).

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{{{3^x} - 9}}\);

b) \(y = {\rm{ln}}\left( {4 - {x^2}} \right)\);

c) \(y = {\rm{log}}\frac{1}{{5 - x}}\);

d) \(y = \frac{2}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {x - 1} \right)}}\).

Áp suất khí quyển \(p\) lên một vật giảm khi độ cao tăng dần. Giả sử áp suất này (tính bằng milimét thuỷ ngân) được biểu diễn theo độ cao \(h\) (tính bằng kilômét) so với mực nước biển bằng công thức \(p\left( h \right) = 760 \cdot {e^{ - 0.145h}}\).

a) Một máy bay đang chịu áp suất khí quyển \(320{\rm{mmHg}}\). Tìm độ cao của máy bay đó.

b) Một người đứng trên đỉnh của một ngọn núi và chịu áp suất khí quyển \(667{\rm{mmHg}}\). Tìm chiều cao của ngọn núi này.

Giả sử giá trị còn lại \(V\) (triệu đồng) của một chiếc ô tô nào đó sau \(t\) năm được cho bằng công thức \(V\left( t \right) = 730 \cdot {(0,82)^t}\).

a) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng?

b) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng? (Kết quả của câu a và câu b được tính tròn năm).

Giả sử tổng chi phí hoạt động (đơn vị tỉ đồng) trong một năm của một công ty được tính bằng công thức \(C\left( t \right) = 90 - 50{e^{ - t}}\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng năm kế từ khi công ty được thành lập. Tính chi phí hoạt động của công ty đó vào năm thứ 10 sau khi thành lập (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)?

Nhắc lại rằng độ pH của một dung dịch được tính bằng công thức \({\rm{pH}} = - {\rm{log}}\left[ {{{\rm{H}}^ + }} \right]\), ở đó \(\left[ {{{\rm{H}}^ + }} \right]\)là nồng độ ion hydrogen của dung dịch tính bằng mol/lít. Biết rằng máu của người bình thường có độ pH từ 7,30 đến 7,45. Hỏi nồng độ ion hydrogen trong máu người bình thường nhận giá trị trong đoạn nào?

Nhắc lại rằng mức cường độ âm (đ̉o bằng \({\rm{dB}}\) ) được tính bởi công thức \({\rm{L}} = 10{\rm{log}}\frac{I}{{{I_0}}}\), trong đó \(I\)là cường độ âm tính theo \({\rm{W}}/{{\rm{m}}^2}\) và \({I_0} = {10^{ - 12}}{\rm{\;W}}/{{\rm{m}}^2}\).

a) Tính cường độ âm của âm thanh tàu điện ngầm có mức cường độ âm là 100 dB?

b) Âm thanh trên một tuyến đường giao thông có mức cường độ âm thay đồi từ \(70{\rm{\;dB}}\) đến \(85{\rm{\;dB}}\). Hỏi cường độ âm thay đổi trong đoạn nào?