Bài tập 1.17 trang 17 SBT Toán 11 Tập 1 Kết nối tri thức - KNTT

a) Vì \(0 \le \,|\cos x\,|\, \le \,1\) nên \(0 \le \,3\,|\cos x\,|\, \le \,3\), do đó\(2 \le \,2 + 3\,|\cos x\,|\, \le \,5\,\forall \in \mathbb{R}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi: \(|\cos x\,|\, = 1 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,(k \in \mathbb{Z})\).

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,(k \in \mathbb{Z})\).

b) Điều kiện \(\sin x \ge 0\). Vì \(0 \le \sin x \le 1\) hay \(0 \le \sqrt {\sin x} \le 1\) nên \(0 \le 2\sqrt {\sin x} \le 2\), do đó \(1 \le 1 + 2\sqrt {\sin x} \le 3\) với mọi x thỏa mãn \(0 \le \sin x \le 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi \(\sin x = 1\) hay \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi \(\sin x = 0\) hay \(x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

c) Ta có: \(y = {\cos ^2}x + 4\cos 2x = 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 4\cos 2x = \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x.\)

Vì \( - 1 \le \cos 2x \le 1\) nên \( - \frac{{11}}{2} \le \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{{11}}{2}\),

Do đó \( - 4 = \frac{3}{2} - \frac{{11}}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2} = 7\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi: \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\)

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -4 đạt được khi: \(\cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

d) Ta có: \(y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\)

-- Mod Toán 11 HỌC247