Toán 11 Cánh Diều Chương 5 Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Định nghĩa

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu \(\Omega \). Đặt \(C=A\cup B\), ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu là \(A\cup B\).

Chú ý:

Xét một kết quả thuận lợi \(\alpha \) cho biến cố C, tức là \(\alpha \in C\). Vì \(C=A\cup B\) nên  \(\alpha \in A\) hoặc \(\alpha \in B\). Nói cách khác, \(\alpha \) là một kết quả thuận lợi cho biến cố A hoặc biến cố B. Điều đó có nghĩa là biến cố A hoặc biến cố B xảy ra. Vì vậy, biến cố C có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “A xảy ra hoặc B xảy ra” hay “Có ít nhất một trong các biến cố A, B xảy ra”.

 

Định nghĩa

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu \(\Omega \). Đặt \(D=A\cap B\), ta có D là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B, kí hiệu là \(A\cap B\) hay AB.

Chú ý:

Xét một kết quả thuận lợi \(\beta \) cho biến cố D, tức là \(\beta \in D\). Vì \(D=A\cap B\) nên \(\beta \in A\); \(\beta \in B\). Nói cách khác, \(\beta \) là một kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B. Điều đó có nghĩa là cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Vì vậy, biến cố D có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “Cả A và B cùng xảy ra”.

 

Định nghĩa

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu \(\Omega \). Nếu \(A\cap B=\varnothing \) thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc.

Chú ý:

Xét một kết quả thuận lợi \(\gamma \) cho biến cố A, tức là \(\gamma \in A\). Vì \(A\cap B=\varnothing \) nên \(\gamma \notin B\), tức là \(\gamma \) không là một kết quả thuận lợi cho biến cố B. Do đó, hai biến cố A và B là xung khắc khi và chỉ khi nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

 

Định nghĩa

Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý:

Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì mỗi cặp biến cố sau cũng độc lập:

\(A\) và \(\overline{B}\); \(\overline{A}\) và \(B\); \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\)

 

Định lí

Cho hai biến cố A và B. Khi đó \(P\left( A\cup B \right)=P(A)+P(B)-P\left( A\cap B \right)\).

- Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì \(A\cap B=\varnothing \), suy ra \(P\left( A\cap B \right)=0\). Vì thế, ta có hệ quả sau:

Hệ quả:  Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì \(P\left( A\cup B \right)=P(A)+P(B)\).

 

Định lí

- Cho hai biến cố A và B.  - Nếu hai biến cố A và B là độc lập thì \(P\left( A\cap B \right)=P(A).P(B)\).

Chú ý:

Nếu \(P\left( A\cap B \right)\ne P(A).P(B)\) thì hai biến cố A và B không độc lập.

 

Ví dụ: Một đội văn nghệ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên phụ trách đội muốn chọn ra một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia.

a) Giáo viên phụ trách đội có bao nhiêu cách chọn một đội tốp ca như vậy?

b) Tính xác suất của biến cố H: “Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ”. 

 

Hướng dẫn giải

- Xét các biến cố:

H: “Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ;

A: “Trong 3 học sinh chọn ra có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”;

B: “Trong 3 học sinh chọn ra có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ”.

- Khi đó \(H=A\cup B\) và \(A\cap B=\varnothing \).

Do hai biến cố A và B là xung khắc nên \(n(H)=n(A)+n(B)\).

a) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

\(n(A)=C_{4}^{2}.C_{5}^{1}=\frac{4!}{2!.2!}.\frac{5!}{1!.4!}=6.5=30\)

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là:

\(n(B)=C_{4}^{1}.C_{5}^{2}=\frac{4!}{1!.3!}.\frac{5!}{2!.3!}=4.10=40\)

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố H là:

\(n(H)=n(A)+n(B)=30+40=70\)

Vậy giáo viên phụ trách có 70 cách chọn một đội tốp ca như dự định.

b) Đội văn nghệ có 9 học sinh. Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 9 học sinh đó là một tổ hợp chập 3 của 9 phần tử. Do đó, không gian mẫu S2 gồm các tổ hợp chập 3 của 9 phần tử và

\(n(\Omega )=C_{9}^{3}=\frac{9!}{3!.6!}=84\)

Vậy xác suất của biến cố H là: 

\(P(H)=\frac{n(H)}{n(\Omega )}=\frac{70}{84}=\frac{5}{6}\)

 

Ví dụ: Câu lạc bộ nghệ thuật của một trường trung học phổ thông gồm học sinh của cả ba khối 10, 11, 12, mỗi khối có 5 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia biểu diễn. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn chỉ thuộc hai khối.

 

Hướng dẫn giải

- Mỗi cách chọn ra đồng thời 3 học sinh trong câu lạc bộ cho ta một tổ hợp chập 3 của 15 phần tử. Do đó, không gian mẫu \(\Omega \) gồm các tổ hợp chập 3 của 15 phần tử và

\(n(\Omega )=C_{15}^{3}=\frac{15!}{3!.12!}=455\)

- Xét biến cố A: “Chọn được 3 học sinh chỉ thuộc hai khối”.

 

Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng thuận lợi cho biến cố A

 

Như vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A) = 50.6 = 300.

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{300}{455}=\frac{60}{91}\)

 

Bài 1. Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của:

a) Không gian mẫu.

b) Các biến cố:

A: “ 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”.

B: “ 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.

C: “ 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.

 

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(n(\Omega ) = C_{24}^4 = 10626\)

b) Số cách chọn 4 viên bi có đúng hai viên bị màu trắng là: \(C_{10}^2.C_{14}^2 = 4095\)

Suy ra: \(n(A) = 4095\).

Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi màu đỏ được chọn là: \(C_{18}^4\)

Suy ra : \(n(B) = C_{24}^4 - C_{18}^4 = 7566\).

Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là: \(C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4\)

Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là:

\(C_{14}^4 + C_{18}^4 + C_{14}^4 - 2(C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4)\)

Số cách lấy 4 viên bị có đủ ba màu là:

\(C_{24}^4 - (C_{14}^4 + C_{18}^4 + C_{14}^4) + (C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4) = 5859\)

Suy ra \(n(C) = 5859\).

 

 

Bài 2. Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá cơ hoặc lá rô?

 

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố rút được lá cơ.

Và B là biến cố rút được lá rô.

Khi đó A∪B là biến cố rút được lá cơ hoặc lá rô.

Bộ bài có 52 lá, trong đó có 13 lá cơ và 13 lá rô.

⇒ Xác suất của hai biến cố A và B là:

\(P(A) = {13 \over 52} = {1 \over 4}; P(B) = {13 \over 52} = {1 \over 4}\)

Hai biến cố A và B xung khắc với nhau nên ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = \({1 \over 4} + {1 \over 4} = {1 \over 2}\).

 

Bài 3. Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất của biến cố X: “lấy được vé không có chữ số 2 hoặc chữ số 6 ”?

 

Hướng dẫn giải

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 10⁵

Gọi A: “lấy được vé không có chữ số 2”

Gọi B: “lấy được vé số không có chữ số 6”

Suy ra n(A) = n(B) = 9⁵

P(A) = P(B) =\( 9⁵ \over 10⁵\) = (0,9)⁵

Số vé số trên đó không có chữ số 2 và 6 là: 8⁵, suy ra n(A∩B)= 8⁵

⇒ P(A∩B) = \( 85 \over 105 = 0,8⁵

Ta có: X = A ∪ B nên P(X) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,8533.

Học xong bài học này, em có thể:

- Nhận biết các khái niệm biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập.

- Nhận biết quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất.

- Vận dụng được các khái niệm và quy tắc vào giải quyết một số bài toán thực tiễn.

3.1. Trắc nghiệm Bài 2 Chương 5 Toán 11 Cánh Diều

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 5 Bài 2 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Một tổ trong lớp 11B có 4 HS nữ là Hương, Hồng, Dung, Phương và 5 HS nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải. Trong giờ học, giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó lên bảng để kiểm tra bài. Xét các biến cố sau:

  H: “Học sinh đó là một bạn nữ";

  K: “Học sinh đó có tên bắt đầu là chữ cái H".

  Nêu nội dung của biến cố hợp M = H∪K? 

  • A. {Hương}.
  • B. {Hương, Hồng, Dung, Phương, Hoàng}.
  • C. {Hương, Dung, Phương, Hoàng}.
  • D. {Hương, Hồng, Hoàng}.

• Câu 2:

  Biến cố hợp của A và B là biến cố nào?

  • A. "A hoặc B xảy ra"
  • B. "A và B xảy ra"
  • C. "chỉ một trong A hoặc B xảy ra"
  • D. Cả 3 câu trên đều đúng.

• Câu 3:

  Minh và Sơn, mỗi người gieo đồng thời một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:

  A: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số chẵn";

  B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho 3".

  Chọn câu đúng?

  • A. Hai biến cố A, B là độc lập với nhau.
  • B. Hai biến cố A, B là xung khắc với nhau.
  • C. Cả A, B đều đúng
  • D. Cả A, B đều sai

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 5 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Câu hỏi khởi động trang 15 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 1 trang 15 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 1 trang 16 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 2 trang 16 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 2 trang 17 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 3 trang 17 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 3 trang 18 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 4 trang 18 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 4 trang 18 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 5 trang 19 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 5 trang 20 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 6 trang 20 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 6 trang 20 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 7 trang 22 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 7 trang 22 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 8 trang 23 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 1 trang 24 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 2 trang 24 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 4 trang 24 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 6 trang 24 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 6 trang 16 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 7 trang 17 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 8 trang 17 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 9 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 10 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 11 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 12 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 13 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 14 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 15 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 16 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 17 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 18 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 19 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 20 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!