Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 5 Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần (Hình 1).

Xét các biến cố ngẫu nhiên:

A: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn”;

B: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 3”;

C: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn hoặc chia hết cho 3”.

Biến cố C có liên hệ như thế nào với hai biến cố A và B?

Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần”. Gọi \(Ω\) là không gian mẫu của phép thử đó. Xét hai biến cố \(A\) và \(B\) nêu trong bài toán ở phần mở đầu.

a) Viết các tập con \(A\), \(B\) của tập hợp \(Ω\) tương ứng với các biến cố \(A\), \(B\)?

b) Đặt \(C = A ∪ B\). Phát biểu biến cố \(C\) dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện?

Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3,…,12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố \(A\): “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”. Phát biểu biến cố \(A ∪ B\) dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện?

Đối với các tập hợp A, B trong Hoạt động 1, ta đặt \(D = A ∩ B\). Phát biểu biến cố D dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện?

Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố \(A\): “Số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số lẻ” và \(B\): “Số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ”. Phát biểu biến cố \(A ∩ B\) dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện?

Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp”.

Gọi \(Ω\) là không gian mẫu của phép thử đó. Xét các biến cố:

\(A\): “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số lẻ”;

\(B\): “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn”.

a) Viết các tập con \(A,~ B\) của không gian mẫu Ω tương ứng với các biến cố \(A,~ B\).

b)  Tìm tập hợp \(A ∩ B\).

Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Hai biến cố sau có xung khắc không?

A: “Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 5”;

B: “Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 6”.

Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

A: “Đồng xu xuất hiện mặt S ở lần gieo thứ nhất”;

B: “Đồng xu xuất hiện mặt N ở lần gieo thứ hai”.

Đối với hai biến cố A và B, hãy cho biết một kết quả thuận lợi cho biến cố này có ảnh hưởng gì đến xác xuất xảy ra của biến cố kia hay không?

Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số nguyên tố”;

B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là hợp số”.

Hai biến cố A và B có độc lập không? Có xung khắc không? Vì sao?

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20. Xét biến cố \(A\): “Số được viết ra là số chia hết cho 2” và biến cố \(B\): “Số được viết ra là số chia hết cho 7”.

a) Tính \(P(A),~ P(B),~ P(A ∪ B)\) và \(P(A ∩ B)\)?

b) So sánh \(P(A ∪ B)\) và \(P(A) + P(B) – P(A ∩ B)\)?

Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 52; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố \(A\): “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 7” và biến cố \(B\): “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 11”. Tính \(P(A ∪ B)\)?

Xét các biến cố độc lập A và B trong Ví dụ 4.

a) Tính \(P(A),~ P(B)\) và \(P(A ∩ B)\)?

b) So sánh \(P(A ∩ B)\) và \(P(A).P(B)\)?

Một xưởng sản xuất có hai máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để máy I và máy II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Tính xác suất của biến cố \(C\): “Cả hai máy của xưởng sản xuất đều chạy tốt”?

Cho hai đường thẳng song song \(d_1\) và \(d_2\). Trên \(d_1\) lấy 17 điểm phân biệt, trên \(d_2\) lấy 20 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm, tính xác suất để các điểm này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác?

Để trang trí một tờ giấy có dạng hình chữ nhật, bạn Thuỳ chia tờ giấy đó thành bốn hình chữ nhật nhỏ bằng nhau. Mỗi hình chữ nhật nhỏ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc vàng. Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng mà bạn Thuỳ có thể tô màu trang trí cho tờ giấy đó?

Một hộp có 5 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đỏ và 7 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp. Tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi màu đỏ bằng số bi màu vàng?

Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

A: “Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa”;

B : “Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa”;

C: “Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa”;

D : “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.

Trong hai biến cố C, D biến cố nào là biến cố hợp của hai biến cố A, B? Biến cố nào là biến cố giao của hai biến cố A, B?

Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 4”;

B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 4”;

C: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 4”.

Trong các biến cố trên, hãy:

a) Tìm cặp biến cố xung khắc;

b) Tìm cặp biến cố độc lập.

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất của biến cố M: “Số tự nhiên có hai chữ số được viết ra chia hết cho 11 hoặc chia hết cho 12”?

Một hộp có 12 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng?

Hai bạn Việt và Nam cùng tham gia một kì thi trắc nghiệm môn Toán và môn Tiếng Anh một cách độc lập nhau. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai bạn Việt và Nam có chung đúng một mã đề thi trong kì thi đó?

Trong một chiếc hộp có 20 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 9 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra có đúng hai màu?

Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, .. 19, 20; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét các biến cố:

A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 2”;

B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5”;

C: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 5”; D: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5".

a) Biến cố C là biến cố hợp của:

A. Biến cố B và biến cố D.

B. Biến cố A và biến cố D.

C. Biến cố A và biến cố B.

D. Biến cố A và biến cố D hoặc biến cố B và biến cố D.

b) Biến cố D là biến cố giao của:

A. Biến cố B và biến cố C.

B. Biến cố A và biến cố B.

C. Biến cố A và biến cố C.

D. Biến cố A và biến cố C hoặc biến cố B và biến cố C.

Một lớp học có 35 học sinh gồm 20 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 2 học sinh để phân công trực nhật.

a) Xét các biến cố sau:

A: “Hai học sinh được chọn đều là học sinh nam”;

B: “Hai học sinh được chọn đều là học sinh nữ”;

C: “Hai học sinh được chọn có cùng giới tính”.

Trong ba biến cố A, B, C, biến cố nào là biến cố hợp của hai biến cố còn lại?

b) Xét các biến cố sau:

D: “Hai học sinh được chọn gồm một bạn nam và một bạn nữ”;

E: “Trong hai học sinh được chọn, có ít nhất một học sinh nữ”;

G: “Trong hai học sinh được chọn, có ít nhất một học sinh nam”.

Trong ba biến cố D, E, G, biến cố nào là biến cố giao của hai biến cố còn lại?

Một ban văn nghệ có 20 người, trong đó có 8 nam và 12 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 5 người để tập múa. Xét các biến cố sau:

M: “Trong 5 người được chọn, số nam lớn hơn 3”;

N: “Trong 5 người được chọn, số nữ nhỏ hơn 3”;

P: “Trong 5 người được chọn, số nam không vượt quá 3”.

Trong ba biến cố M, N, P, hai biến cố nào là xung khắc?

Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Xét các biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 3”;

B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 3”;

C: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba lớn hơn 3”;

D: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 3”.

Trong các biến cố trên, tìm:

a) Một cặp biến cố xung khắc;

b) Ba cặp biến cố độc lập.

Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp.

a) Viết các kết quả thuận lợi của không gian mẫu Ω và hai biến cố A: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”, B: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.

b) Viết các kết quả thuận lợi của mỗi biến cố \(A \cup B,A \cap B.\)

c) Tính \(P\left( A \right),P\left( B \right),P\left( {A \cup B} \right),P\left( {A \cap B} \right).\) Cho biết A và B có là hai biến cố xung khắc không; A và B có là hai biến cố độc lập không.

Xét các biến cố A, B liên quan đến cùng một phép thử thoả mãn \(P\left( A \right) = 0,4;P\left( B \right) = 0,5;P\left( {A \cup B} \right) = 0,6.\) Hai biến cố A và B có xung khắc không? Vì sao?

Xét các biến cố A, B liên quan đến cùng một phép thử thoả mãn \(P\left( A \right) = 0,3;P\left( B \right) = 0,4;P\left( {A \cap B} \right) = 0,1.\) Hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao?

Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp.

a) Không gian mẫu Ω có bao nhiêu phần tử?

b) Xét các biến cố:

A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là 2”;

B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là 3”.

Tính xác suất của các biến cố \(A,B,A \cap B.\)

Cho hai biến cố độc lập A và B cùng liên quan đến một phép thử thoả mãn \(P\left( A \right) = 0,2\) và \(P\left( B \right) = 0,3.\)

Tính xác suất của các biến cố: \(\bar A,\bar B,A \cap B,\bar A \cap B,A \cap \bar B\) và \(\bar A \cap \bar B\)?

Hai bệnh nhân cùng nhiễm một loại virus. Xác suất biến chứng nặng của bệnh nhân thứ nhất và bệnh nhân thứ hai lần lượt là 0,2 và 0,25; khả năng bị biến chứng nặng của hai bệnh nhân là độc lập. Tính xác suất của các biến cố:

a) M: “Bệnh nhân thứ nhất và bệnh nhân thứ hai đều bị biến chứng nặng”;

b) N: “Bệnh nhân thứ nhất không bị biến chứng nặng và bệnh nhân thứ hai bị biến chứng nặng”;

c) Q: “Bệnh nhân thứ nhất bị biến chứng nặng và bệnh nhân thứ hai không bị biến chứng nặng”;

d) R: “Bệnh nhân thứ nhất và bệnh nhân thứ hai đều không bị biến chứng nặng”;

e) S: “Có ít nhất một trong hai bệnh nhân bị biến chứng nặng”.

Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 học sinh thích chơi cầu lông, 20 học sinh thích chơi bóng bàn, 12 học sinh thích chơi cả cầu lông và bóng bàn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất của các biến cố:

a) A: “Học sinh được chọn thích chơi cầu lông”;

b) B: “Học sinh được chọn thích chơi bóng bản”;

c) C: “Học sinh được chọn vừa thích chơi cầu lông vừa thích chơi bóng bàn”;

d) D: “Học sinh được chọn thích chơi ít nhất một trong hai môn thể thao là câu lông hoặc bóng bàn”.

Một nồi cơm điện gồm hai van bảo hiểm hoạt động độc lập. Xác suất hoạt động tốt của van I và van II lần lượt là 0,8 và 0,6. Nồi cơm điện hoạt động an toàn khi có ít nhất một van hoạt động tốt. Tính xác suất nồi cơm điện hoạt động an toàn?

Hai xạ thủ A và B cùng lúc bắn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất bắn trúng mục tiêu đó của hai xạ thủ A và B lần lượt là 0,6 và 0,65. Mục tiêu bị hạ nếu có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu. Tính xác suất của biến cố D: “Mục tiêu bị hạ bởi hai xạ thủ”?

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất của các biến cố:

a) A: “Hai số được chọn là số chẵn”;

b) B: “Hai số được chọn là số lẻ”;

c) C: “Tổng của hai số được chọn là số chẵn”.

Trong một ngày bán hàng khuyến mại, cửa hàng để lẫn cả sản phẩm loại I và sản phẩm loại II vào một hộp, các sản phẩm có hình thức bề ngoài giống nhau và đồng giá. Trong hộp có 10 sản phẩm loại I và 18 sản phẩm loại II. Một người lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất của biến cố A: “Trong ba sản phẩm lấy được, có cả sản phẩm loại I và sản phẩm loại II”?