Hôm nay, HOC247 sẽ cùng các em đến với một bài học thú vị về thống kê trong môn Toán lớp 11 Cánh Diều, và chủ đề chính là "Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm". Đặt chân vào thế giới số liệu, chúng ta sẽ khám phá cách áp dụng các khái niệm khoa học này để hiểu và phân tích dữ liệu một cách chính xác.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Mẫu số liệu ghép nhóm
a. Bảng tần số ghép nhóm
|
- Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm. - Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng [a; b), trong đó a là đầu mút trái, b là đầu mút phải. Độ dài nhóm là b - a. - Tần số của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào nhóm đó. Tần số của nhóm 1, nhóm 2, ..., nhóm m kí hiệu lần lượt là \({{n}_{1}},{{n}_{2}},...,{{n}_{m}}\). - Bảng tần số ghép nhóm được lập như ở Bảng bên dưới, trong đó mẫu số liệu gồm n số liệu được chia thành m nhóm ứng với m nửa khoảng \(({{a}_{1}};{{a}_{2}});({{a}_{2}};{{a}_{3}});...;({{a}_{m}};{{a}_{m+1}})\), ở đó: \({{a}_{1}}<{{a}_{2}}<...<{{a}_{m}}<{{a}_{m+1}}\) và \(n={{n}_{1}}+{{n}_{2}}+...+{{n}_{m}}\) |
.jpg)
b. Ghép nhóm số liệu. Tần số tích luỹ
|
Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm thành mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện như sau: - Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước. - Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng tần số ghép nhóm. |
Chú ý: Khi ghép nhóm số liệu, ta thường phân chia các nhóm có độ dài bằng nhau và đầu mút của các nhóm có thể không phải là giá trị của mẫu số liệu. Nhóm cuối cùng có thể là \([{{a}_{m}};{{a}_{m+1}}]\).
Định nghĩa
|
- Tần số tích luỹ của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút phải của nhóm đó. Tần số tích luỹ của nhóm 1, nhóm 2, ..., nhóm m kí hiệu lần lượt là \(c{{f}_{1}},c{{f}_{2}},...,c{{f}_{m}}\). - Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ được lập như ở Bảng bên dưới. |
.jpg)
1.2. Số trung bình cộng (số trung bình)
Định nghĩa
|
- Trung điểm \({{x}_{i}}\) của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm i là giá trị đại diện của nhóm đó. - Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline{x}\), được tính theo công thức: \(\overline{x}=\frac{{{n}_{1}}{{x}_{1}}+{{n}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{n}_{m}}{{x}_{m}}}{n}\) |
Ý nghĩa
- Số trung bình cộng của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu đó, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch với số trung bình cộng.
- Số trung bình cộng của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với số trung bình cộng của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu và có thể làm đại diện cho vị trí trung tâm của mẫu số liệu.
1.3. Trung vị
Định nghĩa
Giả sử nhóm k là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{2}\),tức là \(c{{f}_{k-1}}<\frac{n}{2}\) nhưng \(c{{f}_{k}}\ge \frac{n}{2}\).Ta gọi \(r,d,{{n}_{k}}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm k; \(c{{f}_{k-1}}\) là tần số tích luỹ của nhóm k − 1.
|
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({{M}_{e}}\), được tính theo công thức sau: \({{M}_{e}}=r+\left( \frac{\frac{n}{2}-c{{f}_{k-1}}}{{{n}_{k}}} \right).d\) |
Trung vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với trung vị của mẫu số liệu không
ghép nhóm ban đầu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.
1.4. Tứ phân vị
Định nghĩa
| Tứ phân vị thứ hai \({{Q}_{2}}\), bằng trung vị \({{M}_{e}}\). |
- Giả sử nhóm p là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4}\), tức là \(c{{f}_{p-1}}<\frac{n}{4}\) nhưng \(c{{f}_{p}}\ge \frac{n}{4}\). Ta gọi \(s,h,{{n}_{p}}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(p,c{{f}_{p-1}}\) là tần số tích luỹ của nhóm p − 1.
|
Tứ phân vị thứ nhất \({{Q}_{1}}\), được tính theo công thức sau: \({{Q}_{1}}=s+\left( \frac{\frac{n}{4}-c{{f}_{p-1}}}{{{n}_{p}}} \right).h\) |
- Giả sử nhóm q là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{3n}{4}\) ,tức là \(c{{f}_{q-1}}<\frac{3n}{4}\) nhưng \(c{{f}_{q-1}}\ge \frac{3n}{4}\).Ta gọi \(t,l,{{n}_{q}}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm q; là tần số tích luỹ của nhóm q − 1.
|
Tứ phân vị thứ ba \({{Q}_{3}}\),được tính theo công thức sau: \({{Q}_{3}}=t+\left( \frac{\frac{3n}{4}-c{{f}_{q-1}}}{{{n}_{q}}} \right).l\) |
- Đối với mẫu số liệu không ghép nhóm đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, các điểm \({{Q}_{1}},{{Q}_{2}},{{Q}_{3}}\) chia mẫu số liệu đó thành bốn phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị.
- Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận được ba giá trị mới cũng có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.
Lưu ý: Bộ ba giá trị \({{Q}_{1}},{{Q}_{2}},{{Q}_{3}}\) trong tứ phân vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với bộ ba giá trị trong tứ phân vị của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu.
1.5. Mốt
Định nghĩa
Giả sử nhóm i là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi \(u,g,{{n}_{i}}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(i,{{n}_{i-1}},{{n}_{i+1}}\) lần lượt là tần số của nhóm i – 1, nhóm i + 1.
|
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({{M}_{o}}\), được tính theo công thức sau: \({{M}_{o}}=u+\left( \frac{{{n}_{i}}-{{n}_{i-1}}}{2{{n}_{i}}-{{n}_{i-1}}-{{n}_{i+1}}} \right).g\) |
Chú ý:
- Khi i = 0 thì \({{n}_{o}}=0\).
- Khi i = m thì \({{n}_{m+1}}=0\).
Ý nghĩa
- Mốt của một mẫu số liệu không ghép nhóm đặc trưng cho số lần lặp đi lặp lại nhiều nhất tại một giá trị của mẫu số liệu đó. Vì thế, có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.
- Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận được giá trị mới cũng có thể dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu đã cho.
- Mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu. Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều mốt.
Bài tập minh họa
Theo dõi thời gian đi từ nhà đến trường của bạn A trong 35 ngày, ta có bảng số liệu sau: (đơn vị phút)
Tính số trung bình của mẫu (chính xác đến hàng phần trăm)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\overline{x}\)\( =\frac{5\times 20+9\times 22+10\times 24+7\times 26+4\times 28}{35}\)\( =\frac{832}{35}\approx 23,77\)(phút)
3. Luyện tập Bài 1 Chương 5 Toán 11 Cánh diều
Học xong bài học này, em có thể:
- Tính được các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm: số trung bình cộng (hay số trung bình), trung vị, mốt.
- Hiểu được ý nghĩa và vai trò của các số đặc trưng nói trên của mẫu số liệu trong thực tiễn.
3.1. Trắc nghiệm Bài 1 Chương 5 Toán 11 Cánh diều
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 5 Bài 1 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.
- B. Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm mỗi phần chứa 25% giá trị.
- C. Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chia mẫu số liệu thành 4 phần.
- D. Cả ba câu đều đúng.
-
- A. [0;5)
- B. [5;10)
- C. [10;15)
- D. [15;20)
-
- A. 37
- B. 35
- C. 22
- D. 40
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 1 Chương 5 Toán 11 Cánh diều
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 5 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Khởi động trang 3 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 1 trang 3 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 1 trang 4 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 2 trang 4 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 2 trang 5 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 3 trang 5 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều
Luyện tập 3 trang 6 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 4 trang 8 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 5 trang 8 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 5 trang 9 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 6 trang 10 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 6 trang 12 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Hoạt động 7 trang 12 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Luyện tập 7 trang 13 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 1 trang 14 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 2 trang 14 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài 3 trang 14 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 1 trang 8 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 2 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 3 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 4 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
Bài tập 5 trang 10 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD
4. Hỏi đáp Bài 1 Chương 5 Toán 11 Cánh diều
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
