Giải Bài 4 trang 15 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức sau :

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1;\\
\tan \alpha \cot \alpha  = 1,(\cos \alpha  \ne 0;\sin \alpha  \ne 0);\\
1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }},(\cos \alpha  \ne 0);\\
1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }},(\sin \alpha  \ne 0).
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

a) Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \)$$ nên cosα < 0.

Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\), ta có:

\({\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2} + co{s^2}\alpha  = 1 \Leftrightarrow co{s^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2} = 1 - \frac{{15}}{{16}} = \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow \cos \alpha  = \frac{{ - 1}}{4},(\cos \alpha  < 0)\).

Ta có: \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{4}}}{{\frac{{ - 1}}{4}}} =  - \sqrt {15} \).

\(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{ - \sqrt {15} }}{{15}}\).

b) Do \( - \pi  < \alpha  < 0\) nên sinα < 0.

Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\), ta có:

\({\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^2} = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9} \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{ - \sqrt 5 }}{3},(\sin \alpha  < 0)\)

Ta có: \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{ - \sqrt 5 }}{3}}}{{\frac{{ - 2}}{3}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\);

\(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

c)  Do \( - \pi  < \alpha  < 0\)  nên sinα < 0 và cosα > 0 khi \( - \frac{\pi }{2} \le \alpha  < 0\); cosα < 0 khi \( - \pi  < \alpha  < \frac{{ - \pi }}{2}\).

Mà tanα = 3 > 0, do đó \(tan\alpha  = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} > 0\)$\mathrm{}$, từ đó suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có \(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\).

Áp dụng công thức \(1 + co{t^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\), ta có

\(1 + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) hay \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{10}}{9}\).

\({\sin ^2}\alpha  = \frac{{10}}{9} \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{3}{{\sqrt {10} }} = \frac{{ - 3\sqrt {10} }}{{10}},(\sin \alpha  < 0)\).

Áp dụng công thức \(1 + ta{n^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\), ta có

\(1 + {3^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 10\).

\({\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{ - \sqrt {10} }}{{10}},(\cos \alpha  < 0)\).

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có \(\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }} = \frac{1}{{ - 2}} =  - \frac{1}{2}\).

Do 0 < α < π nên sinα > 0.

Mà cotα = ‒2 < 0 nên \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} < 0\), suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức \(1 + co{t^2}\alpha  = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\), ta có:

\(1 + {( - 2)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 5\).

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{5} \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5},(\sin \alpha  > 0)\).

Ta có: \(\cot \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha  = \cot \alpha .\sin \alpha  = ( - 2).\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5}\).

-- Mod Toán 11 HỌC247