Giải Bài 3 trang 15 SGK Toán 11 Cánh Diều Tập 1 - CD

Phương pháp giải:

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Lời giải chi tiết:

a) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\):

• \(cos\left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) = cos\frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\);
• \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);
• \(\tan \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) = \tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 \);
• \(\cot \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right) = \cot \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi \,\,\left( {k \in } \right)\):

• \(\cos \left[ {\frac{\pi }{3} + (2k + 1)\pi } \right] = \cos \left( {\frac{\pi }{3} + \pi  + 2k\pi } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3} + \pi } \right) =  - \cos \frac{\pi }{3} = \frac{{ - 1}}{2}\);
• \(\sin \left[ {\frac{\pi }{3} + (2k + 1)\pi } \right] = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \pi  + 2k\pi } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \pi } \right) =  - \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\);
• \(\tan \left[ {\frac{\pi }{3} + (2k + 1)\pi } \right] = \tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 \)
• \(\cot \left[ {\frac{\pi }{3} + (2k + 1)\pi } \right] = \cot \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

c) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ (k ∈ ℤ):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

   • cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;

   • sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;

   • tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;

   • Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

   • cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.

   • sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.

   • tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.

   • Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k ∈ ℤ thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định; cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.

d) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

• \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi } \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\);
• \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi } \right) = \sin \frac{\pi }{2} = 1\);
• Do \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = 0\) nên \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\) không xác định;
• \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi } \right) = \cot \frac{\pi }{2} = 0\).

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

• \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi  + \pi } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) =  - \cos \frac{\pi }{2} = 0\);
• \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi  + \pi } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) =  - \sin \frac{\pi }{2} =  - 1\);
• Do \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = 0\) nên \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\) không xác định;
• \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi  + \pi } \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) = \cot \frac{\pi }{2} = 0\).

Vậy với \(k \in Z\) thì \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = 0\); \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = 0\); \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\) không xác định; \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = 1\) khi k chẵn và \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = - 1\) khi k lẻ.

-- Mod Toán 11 HỌC247