Trong bài học này, chúng ta sẽ khám phá những khái niệm cơ bản của chương Giới hạn trong Toán 11 Chân trời sáng tạo, đó chính là: Giới hạn của các dãy số. Đồng thời, chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm như giới hạn hữu hạn, giới hạn vô hạn, giới hạn dương vô cùng và giới hạn âm vô cùng.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Giới hạn 0 của dãy số
|
Ta nói dãy số (\(u_n\)) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) hay \(u_n \to 0\) khi \(n \to +\infty\). Ta còn viết là \(\mathop {\lim } {u_n} = 0\). |
Ta thừa nhận một số giới hạn cơ bản dưới đây. Chúng thường được sử dụng để tìm giới hạn của nhiều dãy số khác.
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}^*\);
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\) với q là số thực thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\);
b) Giới hạn hữu hạn của dãy số
|
Ta nói dãy số (\(u_n\)) có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n -a}) =0\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \(u_n \to a\) khi \(n \to +\infty\). |
Chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } C = C\) với C là hằng số.
1.2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
|
- Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a, \mathop {\lim }\limits_{n\to + \infty } {v_n} = b\) và \(c\) là hằng số thì + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} + {v_n}) = a + b\) + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} - {v_n}) = a - b\) + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({c}.{u_n}) = c.a\) + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\) + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}{\rm{ (}}b \ne 0)\) - Nếu \({u_n} \ge 0 \text{ với mọi } n\in N*\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) thì \(a\ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \) |
1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
|
- Cấp số nhân vô hạn \(({u_n})\) có công bội q thỏa \(\left| q \right| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. - Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là \(S= {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\). |
1.4. Giới hạn vô cực
|
- Dãy số (\(u_n\)) được gọi là có giới hạn là \(+\infty\) khi \(n \to +\infty\), nếu \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = +\infty\) hay \(u_n \to +\infty\) khi \(n \to +\infty\). - Dãy số (\(u_n\)) được gọi là có giới hạn là \(-\infty\) khi \(n \to +\infty\), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({-u_n}) = +\infty\) . Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = -\infty\) hay \(u_n \to -\infty\) khi \(n \to +\infty\). |
Chú ý: Ta có các kết quả sau:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = +\infty\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({-u_n}) = -\infty\)
+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = +\infty\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = -\infty\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {1\over u_n} = 0\)
+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) và \(u_n>0\) với mọi n thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {1\over u_n} = + \infty\)
Nhận xét:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^k} = + \infty\) với \(k \in \mathbb{N}^*\);
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = + \infty\) nếu \(q > 1\).
Bài tập minh họa
Câu 1. Tính giới hạn
a) \(\lim \frac{{{5}^{n}}-{{3}^{n}}}{{{5}^{n}}-4}\).
b) \(J=\lim \frac{\left( n-1 \right)\left( 2n+3 \right)}{{{n}^{3}}+2}\).
Hướng dẫn giải
a) \(\lim \frac{{{5}^{n}}-{{3}^{n}}}{{{5}^{n}}-4}\)\(=\lim \frac{1-{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{n}}}{1-4{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{n}}}=1\).
b) \(J=\lim \frac{\left( n-1 \right)\left( 2n+3 \right)}{{{n}^{3}}+2}\)\(=\lim \frac{\left( 1-\frac{1}{n} \right)\left( \frac{2}{n}+\frac{3}{{{n}^{2}}} \right)}{1+\frac{2}{{{n}^{3}}}}\)\(=\frac{0}{1}=0\).
Câu 2. Tính \(\lim \left( -2{{n}^{3}}+2{{n}^{{}}}+1 \right)\).
A. \(+\infty \). B. \(2\). C. \(-2\). D.\(-\infty \).
Hướng dẫn giải
Chọn D
\(\lim \left( -2{{n}^{3}}+2{{n}^{{}}}+1 \right)\)\(=\lim {{n}^{3}}\left( -2+\frac{2}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{3}}} \right)\).
Vì \(\lim \,{{n}^{3}}=+\infty \,\) và \(\lim \left( -2+\frac{2}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{3}}} \right)=-2\) nên \(\lim \left( -2{{n}^{3}}+2{{n}^{{}}}+1 \right)=-\infty \).
Luyện tập Bài 1 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Học xong bài học này, em có thể:
– Nhận biết được khái niệm giới hạn của dãy số, vận dụng các giới hạn cơ bản và các phép toán giới hạn để tìm giới hạn một số dãy số đơn giản.
– Tính được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng vào giải quyết những vấn đề trong toán học và cuộc sống.
3.1. Trắc nghiệm Bài 1 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 3 Bài 1 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \(-3\).
- B. \(0\).
- C. \(5\).
- D. \(1\).
-
- A. \(\lim \frac{n+3}{n+2}\).
- B. \(\lim {{\left( \frac{2019}{2020} \right)}^{n}}\).
- C. \({{2}^{n}}\).
- D. \({{n}^{4}}\).
-
- A. \(3\).
- B. \(1\).
- C. \(2\).
- D. \(0\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 1 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 3 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khởi động trang 64 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 1 trang 64 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 1 trang 65 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 65 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 2 trang 65 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 66 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 3 trang 66 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 4 trang 67 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Thực hành 4 trang 68 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Vận dụng 1 trang 68 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Hoạt động khám phá 5 trang 68 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 1 trang 69 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 2 trang 69 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 3 trang 69 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 4 trang 70 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 5 trang 70 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Bài tập 1 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 2 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 3 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 4 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 5 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 6 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 7 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 8 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 9 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 10 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 11 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 12 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 13 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Hỏi đáp Bài 1 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
