Vận dụng 1 trang 68 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Phương pháp giải:

Đưa tổng diện tích của các hình tròn về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn rồi áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\): \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử các hình tròn bán kính \({R_1} = R,{R_2} = \frac{R}{2},{R_3} = \frac{R}{4} = \frac{R}{{{2^2}}},...,{R_n} = \frac{R}{{{2^{n - 1}}}},...\) có diện tích lần lượt là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = \pi R_1^2 \\= \pi {R^2},\\{u_2} = \pi R_2^2 \\= \pi {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2} \\= \pi {R^2}.\frac{1}{{{2^2}}},\\{u_3} = \pi R_3^2 \\= \pi {\left( {\frac{R}{{{2^2}}}} \right)^2} \\= \pi {R^2}.\frac{1}{{{2^4}}}\\,...,\\{u_n} = \pi R_n^2 = \pi {\left( {\frac{R}{{{2^{n - 1}}}}} \right)^2}\\= \pi {R^2}.\frac{1}{{{2^{2n - 2}}}}\\,...\end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... \\= \pi {R^2} + 2\pi {R^2}.\frac{1}{{{2^2}}} + 4.\pi {R^2}.\frac{1}{{{2^4}}} + ... + {2^{n + 1}}\pi {R^2}.\frac{1}{{{2^{2n - 2}}}} + ...\\\,\,\,\, = \pi {R^2} + \pi {R^2}.\frac{1}{2} + \pi {R^2}.\frac{1}{{{2^2}}} + ... + \pi {R^2}.\frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...\\\,\,\,\, = \pi {R^2}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...} \right)\end{array}\)

Xét tổng: \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...\)

Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\) nên:

\({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ... \\= \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\).

Vậy \(S = \pi {R^2}.{S_n} = 2\pi {R^2}\).

-- Mod Toán 11 HỌC247