Giải Bài 4 trang 70 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1
Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).
a) Kí hiệu \({a_n}\) là diện tích của hình vuông thứ \(n\) và \({S_n}\) là tổng diện tích của \(n\) hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính \({a_n},{S_n}\left( {n = 1,2,3,...} \right)\) và tìm \(\lim {S_n}\) (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).
b) Kí hiệu \({p_n}\) là chu vi của hình vuông thứ \(n\) và \({Q_n}\) là tổng chu vi của \(n\) hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính \({p_n}\) và \({Q_n}\left( {n = 1,2,3,...} \right)\) và tìm \(\lim {Q_n}\) (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm cạnh của hình vuông thứ \(n\) dựa vào cạnh của hình vuông thứ \(n - 1\).
Bước 2: Tính chu vi và diện tích của hình vuông thứ \(n\).
Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\):
\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Lời giải chi tiết
a) Gọi \({u_n}\) là độ dài cạnh của hình vuông thứ \(n\).
Ta có:
\({u_1} = 1;{u_2} = \frac{{{u_1}}}{2}.\sqrt 2 = \frac{{{u_1}}}{{\sqrt 2 }};{u_3}\\ = \frac{{{u_2}}}{2}.\sqrt 2\\ = \frac{{{u_2}}}{{\sqrt 2 }};...\)
Từ đó ta thấy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Vậy \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 1.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{n - 1}}\\ = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Diện tích của hình vuông thứ \(n\) là:
\({a_n} = u_n^2 = {\left( {\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}} \right)^2} \\= \frac{1}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Vậy \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\)
Đây là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Vậy \({S_n} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\).
\(\lim {S_n} = \lim 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 2\left( {1 - \lim \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 2\left( {1 - 0} \right) = 2\).
b) Chu vi của hình vuông thứ \(n\) là:
\({p_n} = 4{u_n} = 4.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} \\= \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)
Vậy \({Q_n} = 4 + \frac{4}{{\sqrt 2 }} + \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}\\ = 4\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ...+ \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}} \right)\)
\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... \\+ \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}\)
là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
-- Mod Toán 11 HỌC247
Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.
Bài tập SGK khác
Giải Bài 2 trang 69 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 3 trang 69 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Giải Bài 5 trang 70 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST
Bài tập 1 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 2 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 3 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 4 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 5 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 6 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 7 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 8 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 9 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 10 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 11 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 12 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST
Bài tập 13 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST