Hoạt động khám phá 4 trang 67 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Phương pháp giải:

a) Dựa vào đề bài, ta đưa ra công thức tổng quát của \({u_k}\) dựa vào công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\): \({u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}\).

b) Áp dụng công thức tính tổng \({S_n}\) của \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\): \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\).

c) Áp dụng các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số và công thức tính giới hạn cơ bản: \(\lim {q^n} = 0\), với \(q\) là số thực thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\).

Lời giải chi tiết:

a) Theo đề bài, ta thấy \(\left( {{u_k}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1}= \frac{1}{2}\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Vậy \({u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}} \\= \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{k - 1}} \\= {\left( {\frac{1}{2}} \right)^k} = \frac{1}{{{2^k}}}\)

b) \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{2}\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Vậy

\({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} \\= \frac{1}{2}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} \\= \frac{1}{2}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{\frac{1}{2}}} \\= 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\)

c)

\(\lim {S_n} = \lim \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right) \\= \lim 1 - \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\)

\(\lim 1 = 1\) vì 1 là hằng số.

\(\left| {\frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2} < 1\) nên \(\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\)

Vậy \(\lim {S_n} = \lim 1 - \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 1 - 0 = 1\)

Giới hạn này bằng diện tích của hình vuông ban đầu.

-- Mod Toán 11 HỌC247