Hỏi đáp về Bất đẳng thức

Cho \(0<a,b,c<\frac{1}{2}\) thỏa mãn a + 2b + 3c = 2. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a(4b+6c-3)}+\frac{2}{b(3c+a-1)}+\frac{9}{c(2a+4b-1)}\geq 54\)

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
                                       \(\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}+\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b}}{c+a}+\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{c}}{a+b}\)\(\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}\)

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3.

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{abc}.\)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}\geq \frac{1}{3}\)

Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

\(a\left ( \frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3a+c}+\frac{2}{2a+b+c} \right )+\frac{b}{3a+c}+\frac{c}{3a+b}<2\)

Với a, b, c là các số thực dương, nhỏ hơn \(\frac{4}{3}\) và thỏa mãn a + b + c = 3, chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a^{2}(3b+3c-5)}+\frac{1}{b^{2}(3c+3a-5)}+\frac{1}{c^{2}(3a+3b-5)}\geq 3.\)

Cho a, b, c  là các số dương và a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{3b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}\)

Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng
\(\frac{a}{\sqrt{a^2+8c^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab^2}}\geq 1\)

Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn xyz = \(2\sqrt{2}\)

\(\frac{x^{8}+y^{8}}{x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}}+\frac{y^{8}+z^{8}}{y^{4}+z^{4}+y^{2}z^{2}}\frac{x^{8}+z^{8}}{x^{4}+z^{4}+x^{2}z^{2}}\geq 8\)

Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh
\(\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}\)

Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng.

\(\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)(b+d)}\geq \sqrt{abcd}\)

Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1, chứng minh rằng \(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\leq \sqrt{2(a+b+c)}\)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^4(b+1)(c+1)}+\frac{1}{b^4(c+1)(a+1)}+\frac{1}{c^4(a+1)(b+1)}\geqslant \frac{3}{4}\)