YOMEDIA
NONE

Chứng minh \(\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}\)

Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh
\(\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Aser Aser

    Vì x, y, z dương và xyz =1 nên luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hoặc bằng 1 hoặc hai số cùng nhỏ hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là \(x, y \Rightarrow (x-1)(y-1) \geq 0\)
    \(\Rightarrow x+y\leq xy+1\)
    \(\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{2}{(1+x)(1+y)}=\frac{2}{1+x+y+xy}\geq \frac{2}{2+2xy}\)
    \(=\frac{1}{1+xy}=\frac{z}{z+1}\)
    \(\Rightarrow \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}\)
    Ta có:
    \(\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}-\frac{3}{4}=\frac{(z-1)^2}{(z+1)^2}\geq 0\Rightarrow \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}\)
    \(\Rightarrow \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}\)
    Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1

      bởi Aser Aser 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF