Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Gọi B là trung điểm của AC.

Chứng tỏ rằng $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB}$. 

Quan sát vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$, nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ 2$\overrightarrow {AB}$ với $\overrightarrow {AB}$.

Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G.

Tìm các số a, b biết: $\overrightarrow {AG}  = a.\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {GN}  = b.\overrightarrow {GB}$

Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3\left( {\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {BC} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB}$

Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow {MA\;}  + \;\overrightarrow {MB\;}  = \;\overrightarrow {2MI} \;$ 

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}$. 

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG} .$

Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ khác $\overrightarrow 0$ sao cho $\vec a = k\vec b$ với k là số thực khác 0. Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$.

Cho ba điểm phân biệt A, B, C.

a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vecto $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ cùng phương hay không?

b) Ngược lại, nếu hai vecto $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ cùng phương thì ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?

Ở hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow {AC}  = k.\overrightarrow {AD}$

b) $\overrightarrow {BD}  = k.\overrightarrow {DC}$

Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow {MN}  = 2\overrightarrow {PQ}$

B. $\overrightarrow {MN}  = 2\overrightarrow {NP}$

C. $\overrightarrow {MN}  =  - 2\overrightarrow {PQ}$

D. $\overrightarrow {MQ}  =  - 2\overrightarrow {NP}$

Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\overrightarrow {AD}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\overrightarrow {AP}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AN}$

b) $\overrightarrow {BC}  + 2\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {BA}$

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow b .$ Biểu diễn các vecto $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE}$ theo $\overrightarrow a ,\overrightarrow b .$ 

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = 4\overrightarrow {EG}$

b) $\overrightarrow {EA}  = 4\overrightarrow {EG}$

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\overrightarrow {AG}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE}$

Cho ABCD là hình bình hành. Đặt $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b .$ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vecto $\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {CG}$ theo hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b .$ 

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

$\overrightarrow {DB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\;\overrightarrow {AE}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {AH}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} .$

a) Biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DH} ,\overrightarrow {HE}$ theo hai vecto $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} .$

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {OA}$  

B. $\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {OB}$  

C. $\overrightarrow {AB}  =  - 2\overrightarrow {OB}$

D. $\overrightarrow {AO}  = 2\overrightarrow {AB}$

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {AM}  =  - 3\overrightarrow {GM}$         

B. $\overrightarrow {AM}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {GM}$           

C. $\overrightarrow {AM}  =  - \frac{3}{2}\overrightarrow {GM}$         

D. $\overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow {GM}$

Cho $\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow a$ và $4\overrightarrow a$ cùng phương

B. $\overrightarrow a$ và $- 4\overrightarrow a$ cùng phương           

C. $\overrightarrow a$ và $4\overrightarrow a$ không cùng hướng

D. $\overrightarrow a$ và $- 4\overrightarrow a$ ngược hướng           

Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A, B. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow {AC}  = \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB}$           

B. $\overrightarrow {AC}  =  - \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB}$

C. $\overrightarrow {AC}  = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {AB}$

D. $\overrightarrow {AC}  =  - \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {AB}$

Cho đoạn thẳng BC và điểm A nằm giữa hai điểm B, C. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow {AC}  = \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB}$

B. $\overrightarrow {AC}  =  - \frac{{AC}}{{AB}}\overrightarrow {AB}$

C. $\overrightarrow {AC}  = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {AB}$

D. $\overrightarrow {AC}  =  - \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {AB}$

Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N, P trong môi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {CB}$    

b) $\overrightarrow {AN}  =  - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)$

c) $\overrightarrow {PA}  - \overrightarrow {PB}  + 2\overrightarrow {PC}  = \overrightarrow 0$

Cho tam giác ABC, kẻ phân giác AD. Đặt AB = c, AC = b. Chứng minh:

$b\overrightarrow {DB}  + c\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0$ (*)

Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn $\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN}  = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AP}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}$. Đặt $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b$. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NP}$ theo các vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ và chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thoả mãn $\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {AM}$

với k là số thực. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {EN}$ theo các vectơ $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b  = \overrightarrow {AC}$ và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A', B', C' không trùng với đỉnh của tam giác và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thoả mãn $\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}}$. Chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.