Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Hàm số bậc hai

Ví dụ: Hàm số nào trong các hàm số sau đâylà hàm số bậc hai?

\(\begin{array}{l}
a)y = 2{x^2} + x\\
b)y = {x^3} + x + 1\\
c)y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\\
d)y =  - 3{x^2} - 1\\
e)y = \sqrt {5 - 2x} 
\end{array}\)

+) Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) là một parabol (P):

- Đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

- Trục đối xứng: đường thẳng \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)

- Bề lõm: quay lên trên nếu \(a > 0\), quay xuống dưới nếu \(a < 0\)

- Cắt Oy tại điểm \((0;c)\)

Chú ý: Nếu PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.

+) Vẽ đồ thị

1) Xác định đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

2) Vẽ trục đối xứng d: \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)

3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).

Xác định \(B\left( {\frac{{ - b}}{a};c} \right)\) (là điểm đối xứng với A qua d)

4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.

+) Bảng biến thiên

+) Kết luận:

Ví dụ: Lập bảng biến thiên của hàm số \(y =  - {x^2} + 4x - 3\). Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.

Giải

Đỉnh S có tọa độ: \({x_s} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 2;{y_s} =  - {2^2} + 4.2 - 3 = 1\)

Hay S(2; 1) 

Vì hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = 2.

+) Tầm bay cao và tầm bay xa

Chọn điểm \((0;{y_0})\) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời mặt vợt là:

\(y = \frac{{ - g.{x^2}}}{{2.{v_0}^2.{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha .x + {y_0}\)

Trong đó:

\(g\) là giá tốc trọng trường ( \( \approx 9,8\;m/{s^2}\))

\(\alpha \) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất)

\({v_0}\) là vận tốc ban đầu của cầu

\({y_0}\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất

Quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

 - Vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;

- Khoảng cách từ nơi đứng phát cầu đến điểm cham đất, gọi là tầm bay xa.

+) Bài toán ứng dụng

Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biến phía sân đối phương thì lần phát cầu được xem là hợp lệ.

Câu 1: Khai triển biểu thức của các hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần (nếu có thể). Hàm số nào có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai?

a) \(y = 2x(x - 3)\)

b) \(y = x({x^2} + 2) - 5\)

c) \(y =  - 5(x + 1)(x - 4)\)

Hướng dẫn giải

a) \(y = 2x(x - 3) = 2{x^2} - 6\)

Hàm số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai

b) \(y = x({x^2} + 2) - 5 = {x^3} + 2x - 5\)

Hàm số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc ba

c) \(y =  - 5(x + 1)(x - 4) =  - 5{x^2} + 15x + 20\)

Hàm số có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai

Câu 2: Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\) 

Hướng dẫn giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = {x^2} - 4x + 3\) là một parabol (P1):

+ Có đỉnh S với hoành độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 4)}}{{2.1}} = 2;{y_S} = {2^2} - 4.2 + 3 =  - 1.\)

+ Có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 2\) (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm quay lên trên vì \(a = 1 > 0\)

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.

Câu 3: Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y = 2{x^2} - 6x + 11.\) Hàm số này có thể đạt giá trị bằng -1 không? Tại sao?

Hướng dẫn giải

Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 6)}}{{2.2}} = \frac{3}{2};{y_S} = 2.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 6.\frac{3}{2} + 11 = \frac{{13}}{2}.\)

Hay \(S\left( {\frac{3}{2};\frac{{13}}{2}} \right).\)

Vì hàm số bậc hai có \(a = 2 > 0\) nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng \((\frac{3}{2}; + \infty )\) và nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;\frac{3}{2})\)

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{13}}{2}\) khi \(x = \frac{3}{2}\)

Do đó hàm số không thể đạt giá trị bằng -1 vì \( - 1 < \frac{{13}}{2}.\)

Qua bài giảng trên giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Biết các dạng của hàm số bậc hai ,cách vẽ hàm số bậc hai.

- Biết nhận diện hàm số bậc hai.

- Biết vẽ đồ thị hàm số bậc hai một cách thành thạo.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 3 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?

  

  • A. \(y =  - {x^2} + 4x - 9\)
  • B. \(y = {x^2} - 4x - 1\)
  • C. \(y =  - {x^2} + 4x\)
  • D. \(y = {x^2} - 4x - 5\) 

• Câu 2:

  Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?

  

  • A. \(y = 2{x^2} + 2x - 1\)
  • B. \(y = 2{x^2} + 2x - 2\)
  • C. \(y =  - 2{x^2} - 2x\)
  • D. \(y =  - 2{x^2} - 2x + 1\)

• Câu 3:

  Parabol nào sau đây có đỉnh trùng với đỉnh của parabol (P) \(y\; = \;{x^2}\; + \;4x\)?

  • A. \(y\; = \;2{x^2}\; + \;8x\)
  • B. \(y\; = \; - {x^2}\; + \;4x\; + \;1\)
  • C. \(y\; = \;{x^2}\; + \;4x\; + \;1\)
  • D. \(y\; = \;2{x^2}\; + \;8x\; + \;4\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 3 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khám phá 1 trang 49 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 1 trang 49 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 49 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 2 trang 52 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 3 trang 52 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 3 trang 53 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Vận dụng trang 55 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 56 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 56 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 56 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 56 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 56 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 56 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 7 trang 56 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 8 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 9 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 54 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 55 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 55 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 55 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 55 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 55 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 7 trang 56 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!