Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0˚ đến 180˚. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat {ABC} = \alpha \) (Hình 2). 

a) Nhắc lại định nghĩa sin α, cos α, tan α, cot α. 

b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc 90° – α theo tỉ số lượng giác của góc α. 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị (Hình 3). Với mỗi góc nhọn α ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \). Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0). Hãy tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x₀, y_­0.

Trên nửa đường tròn đơn vị ta có dây cung MN song song với trục Ox và \(\widehat {xOM} = \alpha \).

a) Chứng minh \(\widehat {xON} = {180^o} - \alpha \)

b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc \({180^o} - \alpha \) theo giá trị lượng giác của góc \(\alpha \).

Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc (từ 0° đến 180°) bằng cách sử dụng các phím:

 trên máy tính cầm tay.

Tính sin75°, cos175°, tan64° (làm tròn đến hàng phần chục nghìn). 

Ta có thể tìm số đo (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° khi biết giá trị lượng giác của góc đó bằng cách sử dụng các phím:  cùng với  trên máy tính cầm tay. 

Tìm số đo góc α (từ 0° đến 180°) và làm tròn đến độ, biết: 

a) cos α = – 0,97;

b) tan α = 0,68; 

c) sin α = 0,45. 

Hãy tính chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi trong bài toán ở phần mở đầu.

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, \(\widehat {BAC} = \alpha \). Kẻ đường cao BH. Cho α là góc nhọn, chứng minh: 

a) HC = |AC – AH| và BC² = AB² + AC² – 2AH . AC; 

b) a² = b² + c² – 2bc cos α. 

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, \(\widehat {BAC} = \alpha \). Kẻ đường cao BH Cho α là góc tù. Chứng minh:

a) HC = AC + AH và BC² = AB² + AC² + 2 AH . AC; 

b) a² = b² + c² – 2bc cos α. 

Cho \(\alpha \) là góc vuông. Chứng minh \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos \alpha \)

Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC =7. Tính cosA.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, \(\widehat {BAC} = \alpha \). Kẻ đường kính BD của đường tròn (O).

Cho α là góc nhọn. Chứng minh:

a) \(\widehat {BDC} = \alpha \);

b) \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = 2R\). 

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, \(\widehat {BAC} = \alpha \). Kẻ đường kính BD của đường tròn (O).

Cho α là tù. Chứng minh:

a) \(\widehat {BDC} = 180^\circ  - \alpha \);

b) \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = 2R.\)

Cho \(\alpha \) là góc vuông. Chứng minh \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = 2R.\)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R = 6 và có các góc \(\widehat B = {65^o},\widehat C = {85^o}.\) Tính độ dài cạnh BC.

Cho tam giác ABC có \(AB = 3,5;\;AC = 7,5;\;\widehat A = {135^o}.\) Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {75^o},\widehat C = {45^o}\) và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.

Cho tam giác ABC có \(AB = 6,AC = 7,BC = 8\). Tính \(\cos A,\sin A\) và bán kính R của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

a) \(A = \cos {0^o} + \cos {40^o} + \cos {120^o} + \cos {140^o}\)

b) \(B = \sin {5^o} + \sin {150^o} - \sin {175^o} + \sin {180^o}\)

c) \(C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \sin {75^o} - \sin {55^o}\)

d) \(D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\tan {115^o}\)

e) \(E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\cot {100^o}\)

Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) \(\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{{B + C}}{2}\)

b) \(\tan \frac{{B + C}}{2} = \cot \frac{A}{2}\)

Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA. Biết AC = 25 m, \(\widehat {BAC} = 59,{95^o};\;\widehat {BCA} = 82,{15^o}.\) Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với nhau góc \({75^o}\). Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là \(\alpha  = {35^o}\); khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là \(\beta  = {75^o}\); khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho 0⁰ < \(\alpha \) < 180⁰. Chọn câu trả lời đúng

A. cos\(\alpha \) < 0

B. sin\(\alpha \) > 0 

C. tan\(\alpha \) < 0 

D. cot\(\alpha \) > 0

Cho 0⁰ < \(\alpha \), \(\beta \) < 180⁰  và \(\alpha  + \beta  = {180^0}\). Chọn câu trả lời sai

A. \(\sin \alpha  + \sin \beta  = 0\)                      

B. \(\cos \alpha  + \cos \beta  = 0\)                    

C. \(\tan \alpha  + \tan \beta  = 0\)                      

D. \(\cot \alpha  + \cot \beta  = 0\)

Tính giá trị của biểu thức \(T = {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{75^0} + {\sin ^2}{115^0} + {\sin ^2}{165^0}\)

Cho \(\tan \alpha  =  - 2\). Tính giá trị biểu thức \(P = \frac{{\cos \alpha  + 3\sin \alpha }}{{\sin \alpha  + 3\cos \alpha }}\)

Cho tam giác ABC có \(AB = 6,AC = 8,\widehat A = {100^0}\). Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {60^0},\widehat C = {105^0}\) và \(BC = 15\). Tính độ dài cạnh AC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Cho tam giác ABC có \(AB = 5,AC = 7,BC = 9\). Tính số đo góc A và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Cho hình bình hành ABCD có \(AB = a,BC = b,AC = m,BD = n\). Chứng minh \({m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})\)

Từ một tấm tôn hình tròn bán kính R = 1 m, bạn trí muốn cắt ra một hình tam giác ABC có các góc A = 45⁰, B = 75⁰. Hỏi bạn Trí phải cắt miếng tôn theo hai dây cung AB, BC có độ dài lần lượt bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? 

Một cây cao bị nghiêng so với mặt đất góc 780. Từ vị trí C cách gốc cây 20 m, người ta tiến hành đo đạc và thu được kết quả \(\widehat {ACB} = {50^0}\) với B là vị trí ngọn cây (Hình 10). Tính khoảng cách từ gốc cây (điểm A) đến ngọn cây (điểm B) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét)

Tàu A cách cảng C một khoảng 3 km và lệch hướng bắc một góc 47,45⁰. Tàu B cách cảng C một khoảng 5 km và lệch hướng bắc một góc 112,90⁰ (Hình 11). Hỏi khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu kilomet (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?