YOMEDIA
NONE

Tìm GTNN của S=2x+y+2z biết 2(x+y)+7z=xyz

Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện \(2\left(x+y\right)+7z=xyz\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=2x+y+2z\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Ta có \(2\left(x+y\right)=z\left(xy-7\right)\), do x,y,z là các số dương  nên xy-7>0.

    Khi đó, từ giả thiết ta được : \(z=\frac{2\left(x+y\right)}{xy-7}\)

    Suy ra \(S=f\left(x;y\right)=2x+y+\frac{4\left(x+y\right)}{xy-7}\) với điều kiện \(x>0;y>0,xy>7\) (*)

    Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số \(f\left(x;y\right)\) theo ẩn y ta được :

    \(f'_y\left(x;y\right)=1+\frac{4\left(xy-7\right)-4x\left(x+y\right)}{\left(xy-7\right)^2}=1-\frac{28+4x^2}{\left(xy-7\right)^2}\)

    \(f'_y\left(x;y\right)=0\Leftrightarrow x^2y^2-14xy+21-4x^2=0\)

                 \(\Leftrightarrow y_0=\frac{7}{x}+2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)

    Suy ra \(f\left(x;y_0\right)=2x+\frac{11}{x}+4\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\)

    Xét hàm số : \(g\left(x\right)=2x+\frac{11}{x}+4\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\) với x>0, với \(g'\left(x\right)=2-\frac{11}{x^2}-\frac{28}{x^3\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}}\)

    \(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=3\)

    Khi đó \(g\left(x\right)\ge g\left(3\right)\Leftrightarrow g\left(x\right)\ge15\)

    Với điều kiện (*), ta có \(S\ge f\left(x;y_0\right)=g\left(x\right)\ge15\)

    Vậy MinS=15 khi x=3, y=5, z=2

      bởi Nguyễn Thiện 06/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF