YOMEDIA

Tìm GTNN biểu thức : \(P=(a+1)(b+1)(c+1)+\frac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}\)

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\) . Tìm GTNN biểu thức :
\(P=(a+1)(b+1)(c+1)+\frac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Ta có ab + bc + ca = 3abc
    Nên \((a + 1)(b+1)(c+1)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\)
    \(=\frac{4}{3}(ab+ba+ca)+a+b+c+1\)
    Mà \((ab+ba+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)\Rightarrow a+b+c\leq ab+bc+ca\)

    Do đó \(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\leq (ab+bc+ca)^2-2(ab+bc+ca)\)
    Đặt \(t=ab+bc+ca\), ta có \(a+b+c\geq \sqrt{3t}\) nên \(t\geq \sqrt{3t}\Rightarrow t\geq 3\)
    \(P\geq \frac{4}{3}t+\sqrt{3t}+1+\frac{4}{\sqrt{t^2-2t+1}}=\frac{4}{3}t+\sqrt{3t}+1=f(t)\)
    Xét hàm số f(t) với t \(\geq\) 3 ta có
    \(f'(t)=\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{t}}-\frac{4}{(t-1)^2}\)

    Vì \(t\geq 3\) nên \((t-1)^2\geq 4\Rightarrow \frac{1}{(t-1)^2}\leq \frac{1}{4}\)
    Do đó \(f'(t)>0\forall t\geq 3\), suy ra \(f(t)\geq f(3)=10\Rightarrow P\geq 10\)
    Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1. Vậy GTNN của P là 10. 

      bởi Tran Chau 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)