Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( { - 3;0;0} \right);B\left( {0;0;3} \right);C\left( {0; - 3;0} \right)\) và mặt ph

Gọi điểm I (a;b;c) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {IA}  = ( - 3 - a; - b; - c)\\
\overrightarrow {IB}  = ( - a; - b;3 - c)\\
\overrightarrow {IC}  = ( - a; - 3 - b; - c)
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = ( - 3 - a;3 - b;3 - c) = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 3 - a = 0\\
3 - b = 0\\
3 - c = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 3\\
b = 3\\
c = 3
\end{array} \right. \Rightarrow I( - 3;3;3)\)

Ta có \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {MI}  - \overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\)

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu của I trên (P)

Ta thấy \( - 3 + 3 + 3 - 3 = 0 \Rightarrow I \in (P) \Rightarrow \) Hình chiếu của I trên (P) là chính nó. Do đó \(M \equiv I \Rightarrow M( - 3;3;3)\)