YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho hình chóp S.ABCD có \(SC = x(0 < x < a\sqrt 3 )\), các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \frac{{a\sqrt m }}{n}(m,n \in N*)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    • A. \(m + 2n = 10\)
    • B. \(2{m^2} - 3n < 15\)
    • C. \({m^2} - n = 30\)
    • D. \(4m - {n^2} =  - 20\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Cách giải:

    Vì \(SA = SB = SD = a\) nên hình chiếu vuông của S trên (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

    Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD \( \Rightarrow SH \bot (ABCD)\).

    Do tam giác ABD cân tại A \( \Rightarrow H \in AC\)

    Dễ dàng chứng minh được:

    \(\Delta SBD = \Delta ABD(c.c.c) \Rightarrow SO = AO = \frac{{AC}}{2} \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại S (Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)

    Description: 44zx

    \( \Rightarrow AC = \sqrt {S{A^2} + S{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \)

    Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có \(SH = \frac{{SA.SC}}{{AC}} = \frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\)

    Ta có

    \(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}}  \Rightarrow OB = \sqrt {A{B^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2} + {x^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2} \Rightarrow BD = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} \)

    Do ABCD là hình thoi \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD\). Khi đó ta có:

    \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{6}.\frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\sqrt {{a^2} + {x^2}} .\sqrt {3{a^2} - {x^2}}  = \frac{1}{6}ax\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \)

    Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(x\sqrt {3{a^2} - {x^2}}  \le \frac{{{x^2} + 3{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} \le \frac{1}{6}a\frac{{3{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}\)

    Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{a\sqrt m }}{n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    m = 6\\
    n = 2
    \end{array} \right. \Rightarrow m + 2n = 10\)

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 66089

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF