Trong bài thi thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua một sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia 100m.

Gọi vận tốc của chiến sĩ khi bơi là \(a\left( m/s \right),\left( a>0 \right).\)

\(\Rightarrow \) Vận tốc của chiến sĩ khi chạy bộ là: 3a (m/s). 

Ta có hình vẽ, khi đó chiến sĩ ở vị trí A, mục tiêu ở vị trí C. 

Quãng đường chiến sĩ phải bơi là AD, quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là DC. 

Ta có: \(BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{1000}^{2}}-{{100}^{2}}}=300\sqrt{11}\left( m \right).\)

Đặt \(BD=x\left( m \right),\left( 0<x<300\sqrt{11} \right)\)

\(\Rightarrow \) Quãng đường chiến sĩ phải bơi là: \(AD=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}\left( m \right).\)

Quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là: \(CD=BC-BD=300\sqrt{11}-x\left( m \right).\)

- Thời gian chiến sĩ đến được mục tiêu là:

\(t=\frac{AD}{a}+\frac{DC}{3a}=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}}{a}+\frac{300\sqrt{11}-x}{3a}\)

\(=\frac{1}{3a}\left( 3\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}+300\sqrt{11}-x \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( x \right)=3\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}-x+300\sqrt{11}\) trên \(\left( 0;300\sqrt{11} \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right)=\frac{3x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}}-1\Rightarrow f'\left( x \right)=0\)

\(\Leftrightarrow 3x=2\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}+{{4.100}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}={{4.100}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{4}{5}{{.100}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{5}}{5}.100=40\sqrt{5}\left( tm \right)\)

\(\Rightarrow \)Quãng đường bơi mà chiến sĩ phải bơi để đến được mục tiêu nhanh nhất là: 

\(AD=\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}=\sqrt{\frac{4}{5}{{.100}^{2}}+{{100}^{2}}}=\sqrt{\frac{9}{5}{{.100}^{2}}}=60\sqrt{5}m.\)