Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số \(y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)x+2\) đồng biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right).\) Số phần tử của S bằng:

Xét hàm số: \(y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)+2\)

\(\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6\left( 2m+1 \right)x+12m+5=0\left( * \right)\)

TH1: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) 

\(\Leftrightarrow y'\ge 0\text{ }\forall x\Leftrightarrow \Delta '\le 0\)

\(\Leftrightarrow 9{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-3\left( 12m+5 \right)\le 0\)

\(\Leftrightarrow 9\left( 4{{m}^{2}}+4m+1 \right)-36m-15\le 0\)

\(\Leftrightarrow 36{{m}^{2}}-36\le 0\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le \frac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow -\frac{\sqrt{6}}{6}\le m\le \frac{\sqrt{6}}{6}\)

TH2: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( 2;+\infty  \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn \(2\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \ge 0\\ {x_1} + {x_2} > 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 36{m^2} - 6 > 0\\ {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 4 \ge 0\\ {x_1} + {x_2} > 4 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} > \frac{1}{6}\\ \frac{{12m + 5}}{3} - 2.\frac{{6\left( {2m + 1} \right)}}{3} + 4 \ge 0\\ \frac{{6\left( {2m + 1} \right)}}{3} > 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > \frac{{\sqrt 6 }}{6}\\ m < - \frac{{\sqrt 6 }}{6} \end{array} \right.\\ 12m + 5 - 24m - 2 + 12 \ge 0\\ 4m + 2 > 4 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > \frac{{\sqrt 6 }}{6}\\ m < - \frac{{\sqrt 6 }}{6} \end{array} \right.\\ - 12m \ge - 15\\ m > \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > \frac{{\sqrt 6 }}{6}\\ m < - \frac{{\sqrt 6 }}{6} \end{array} \right.\\ m \le \frac{5}{4}\\ m > \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m \le \frac{5}{4}\)

Kết hợp hai trường hợp ta được: \(\left[ \begin{array}{l} - \frac{{\sqrt 6 }}{6} \le m \le \frac{{\sqrt 6 }}{6}\\ \frac{1}{2} < m \le \frac{5}{4} \end{array} \right.\)

Lại có: \(m\in {{\mathbb{Z}}^{*}}\Rightarrow m=1.\)

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn bài toán.