Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng \(a,\) cạnh bên bằng \(a\sqrt{3}.\) Gọi O là tâm của đáy \(ABC,{{d}_{1}}\) là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và \({{d}_{2}}\) là khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng (SBC). Tính \(d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}.\)

Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AM\\ BC \bot SM \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right).\)

Trong (SAM) kẻ \(AH\bot SM\left( H\in SM \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AH \bot SM\\ AH \bot BC\left( {AH \subset \left( {SAM} \right)} \right) \end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right).\)

\(\Rightarrow {{d}_{1}}=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AH.\)

Vì ABC đều cạnh a nên \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AO=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SAO có: \(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{3}}}{3}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}.\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SBM có: \(S{{M}^{2}}=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}.\)

Ta có: \({{S}_{\Delta SAM}}=\frac{1}{2}SO.AM=\frac{1}{2}AH.SM\Rightarrow AH=\frac{SO.AM}{SM}=\frac{\frac{2a\sqrt{6}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{11}}{2}}=\frac{2a\sqrt{22}}{11}.\)

\(\Rightarrow {{d}_{1}}=\frac{2a\sqrt{22}}{11}.\)

Ta có: \(AO\cap \left( SBC \right)=\left\{ M \right\}\Rightarrow \frac{d\left( O;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\frac{OM}{AM}=\frac{1}{3}\Rightarrow d\left( O;\left( SBC \right) \right)=\frac{1}{3}d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\frac{2a\sqrt{22}}{33}\)

\(\Rightarrow {{d}_{2}}=\frac{2a\sqrt{22}}{33}.\)

Vậy \(d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}=\frac{2a\sqrt{22}}{11}+\frac{2a\sqrt{22}}{33}=\frac{8a\sqrt{22}}{33}.\)