Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\left| f\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)+m \right|\) có giá trị nhỏ nhất không vượt quá 5?

Đặt \(t=\sin x+\sqrt{3}\cos x\)

Ta có: \(t=2\left( \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x \right)=2\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\Rightarrow t\in \left[ -2;2 \right].\)

Khi đó ta có: \(y=\left| f\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)+m \right|=\left| {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+1+m \right|\)

Xét hàm số \(g\left( t \right)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+m+1\) trên \(\left[ -2;2 \right]\) ta được:

\(g'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t \Rightarrow g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = 2 \end{array} \right.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} g\left( { - 2} \right) = m - 19\\ g\left( 0 \right) = m + 1\\ g\left( 2 \right) = m - 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} g\left( t \right) = m - 19\\ \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} g\left( t \right) = m + 1 \end{array} \right.\)

TH1: \(\left( m+1 \right)\left( m-19 \right)\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 19\Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }}\,\left| g\left( t \right) \right|=0\)

=> Có 21 giá trị m thỏa mãn bài toán. 

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l} m - 19 > 0\\ m + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 19 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} \left| {g\left( t \right)} \right| = m - 19\)

\(\Rightarrow m-19\le 5\Leftrightarrow m\le 24\Rightarrow 19<m\le 24\)

\(\Rightarrow m\in \left\{ 20;21;22;23;24 \right\}\)

\(\Rightarrow \) Có 5 giá trị m thỏa mãn bài toán. 

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l} m - 19 < 0\\ m + 1 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} \left| {g\left( t \right)} \right| = - \left( {m + 1} \right)\)

\(\Rightarrow -m-1\le 5\Leftrightarrow m\ge -6\Rightarrow -6\le m<-1\)

\(\Rightarrow m\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2 \right\}\)

\(\Rightarrow \) Có 5 giá trị m thỏa mãn bài toán. 

Vậy có: \(21+5+5=31\) giá trị m thỏa mãn bài toán.