YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \(\frac{7}{13}\) lần phần còn lại. Tính tỉ số \(k=\frac{IA}{IS}\) ? 

    • A. \(\frac{1}{2}\)
    • B. \(\frac{2}{3}\)
    • C. \(\frac{3}{4}\)
    • D. \(\frac{1}{3}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    Đặt \(\frac{SI}{SA}=x\left( 0<x<1 \right).\)

    Trong (ABCD) kéo dài MN cắt AD, CD lần lượt tại P, Q. 

    Trong (SAD) kéo dài PI cắt SD tại E. 

    Trong (SCD) nối QE cắt SC tại J. 

    Khi đó (IMN) cắt hình chóp theo thiết diện là IMNJE. 

    Mặt phẳng (IMN) chia khối chóp thành hai phần, gọi \({{V}_{1}}\) là phần thể tích chứa đỉnh S và \(V={{V}_{S.ABCD}}\)

    Khi đó ta có: \(\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{7}{20}.\)

    Ta có: \({{V}_{1}}={{V}_{S.BMN}}+{{V}_{S.MNI}}+{{V}_{S.INJ}}+{{V}_{IJE}}.\)

    +) \(\frac{{{V}_{S.BMN}}}{V}=\frac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{2}.\frac{BM}{BA}.\frac{BN}{BC}=\frac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{S.BMN}}=\frac{V}{8}.\)

    +) \(\frac{{{V}_{S.MNI}}}{{{V}_{S.MNA}}}=\frac{SI}{SA}=x\Rightarrow {{V}_{S.MNI}}=x{{V}_{S.MNA}}\)

    \(\frac{{{V}_{S.MNA}}}{V}=\frac{{{S}_{MNA}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{2}{{S}_{ABN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{8}\Rightarrow {{V}_{S.MNA}}=\frac{1}{8}V\)

    \(\Rightarrow {{V}_{S.MNI}}=\frac{x}{8}V.\)

    +) \(\frac{{{V}_{S.INJ}}}{{{V}_{S.ANC}}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SJ}{SC}\)

    Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {IMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = IJ\\ \left( {IMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\ \left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC \end{array} \right.,\) lại có MN // AC (do MN là đường trung bình của tam giác ABC) 

    \(\Rightarrow IJ//MN\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{SJ}{SC}=x.\)

    \(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.INJ}}}{{{V}_{S.ANC}}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SJ}{SC}={{x}^{2}}\Rightarrow {{V}_{S.INJ}}={{x}^{2}}{{V}_{S.ANC}}.\)

    \(\frac{{{V}_{S.ANC}}}{V}=\frac{{{S}_{ANC}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}}{ABCD}=\frac{1}{4}.\)

    \(\Rightarrow {{V}_{S.INJ}}=\frac{{{x}^{2}}}{4}V.\)

    +) \(\frac{{{V}_{S.IJE}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SJ}{SC}.\frac{SE}{SD}={{x}^{2}}\frac{SE}{SD}.\)

    Dễ dàng chứng minh được \(\Delta BMN=\Delta CQN\left( g.c.g \right)\Rightarrow BM=CQ=\frac{1}{2}CD.\)

    \(\Rightarrow DQ=3CQ=3AM\Rightarrow \frac{AM}{DQ}=\frac{PA}{PD}=\frac{1}{3}.\)

    Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SAD ta có: 

    \(\frac{PA}{PD}.\frac{ED}{ES}.\frac{IS}{IA}=1\Rightarrow \frac{1}{3}.\frac{ED}{ES}.\frac{x}{1-x}=1\Leftrightarrow \frac{ED}{ES}=\frac{3\left( 1-x \right)}{x}\)

    \(\Rightarrow \frac{ED+ES}{ES}=\frac{3-2x}{x}\Rightarrow \frac{SE}{SD}=\frac{x}{3-2x}\)

    \(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.IJE}}}{{{V}_{S.ACD}}}={{x}^{2}}\frac{SE}{SD}={{x}^{2}}.\frac{x}{3-2x}=\frac{{{x}^{3}}}{3-2x}.\)

    Mà \({{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}V\Rightarrow {{V}_{S.IJE}}=\frac{{{x}^{3}}}{6-4x}V.\)

    Khi đó ta có: 

    \({{V}_{1}}={{V}_{S.BMN}}+{{V}_{S.MNI}}+{{V}_{S.INJ}}+{{V}_{S.IJE}}\)

          \(=\frac{V}{8}+\frac{x}{8}V+\frac{{{x}^{2}}}{4}V+\frac{{{x}^{3}}}{6-4x}V\)

          \(=\left( \frac{1}{8}+\frac{x}{8}+\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{x}^{3}}}{6-4x} \right)V\)

    \(\Rightarrow \frac{1}{8}+\frac{x}{8}+\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{x}^{3}}}{6-4x}=\frac{7}{20}\)

    Thử đáp án: 

    Đáp án A: \(k=\frac{IA}{IS}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{SI}{SA}=\frac{2}{3}\Rightarrow \) Loại

    Đáp án B: \(k=\frac{IA}{IS}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{3}{5}\Rightarrow \) Thỏa mãn.

    ATNETWORK

Mã câu hỏi: 279298

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON