Biết rằng đồ thị hàm số \(y=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-7 \right)-m\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là \({{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}}.\) Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để \(\frac{1}{1-{{x}_{1}}}+\frac{1}{1-{{x}_{2}}}+\frac{1}{1-{{x}_{3}}}+\frac{1}{1-{{x}_{4}}}>1?\)

Ta có: 

\(y=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-7 \right)-m\)

\(y=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-7 \right)-m\)

\(y={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+7-m\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+7-m=0\left( * \right).\)

Đặt \(t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right),\) phương trình đã cho trở thành: \({{t}^{2}}-8t+7-m=0\left( ** \right).\)

Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn ycbt thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1. 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = 16 - 7 + m > 0\\ 8 > 0\left( {luon{\rm{ }}dung} \right)\\ 7 - m > 0\\ m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9 < m < 7\\ m \ne 0 \end{array} \right.\)

Khi đó giả sử phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt \({{t}_{1}};{{t}_{2}}\) thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}=-\sqrt{{{t}_{1}}};{{x}_{2}}=\sqrt{{{t}_{1}}};{{x}_{3}}=-\sqrt{{{t}_{2}}};{{x}_{4}}=\sqrt{{{t}_{2}}}.\)

Theo bài ra ta có: 

\(\frac{1}{1-{{x}_{1}}}+\frac{1}{1-{{x}_{2}}}+\frac{1}{1-{{x}_{3}}}+\frac{1}{1-{{x}_{4}}}>1\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{1+\sqrt{{{t}_{1}}}}+\frac{1}{1-\sqrt{{{t}_{1}}}}+\frac{1}{1+\sqrt{{{t}_{2}}}}+\frac{1}{1-\sqrt{{{t}_{2}}}}>1\)

\(\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{{{t}_{1}}}+1+\sqrt{{{t}_{1}}}}{1-{{t}_{1}}}+\frac{1-\sqrt{{{t}_{2}}}+1+\sqrt{{{t}_{2}}}}{1-{{t}_{2}}}>1\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{1-{{t}_{1}}}+\frac{2}{1-{{t}_{2}}}>1\)

\(\Leftrightarrow \frac{2\left( 1-{{t}_{2}}+1-{{t}_{1}} \right)-\left( 1-{{t}_{1}}-{{t}_{2}}+{{t}_{1}}{{t}_{2}} \right)}{1-{{t}_{1}}-{{t}_{2}}+{{t}_{1}}{{t}_{2}}}>0\)

\(\Leftrightarrow \frac{3-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)-{{t}_{1}}{{t}_{2}}}{{{t}_{1}}{{t}_{2}}-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+1}>0\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {t_1} + {t_2} = 8\\ {t_1}{t_2} = 7 - m \end{array} \right..\)

\(\Rightarrow \frac{3-8-7+m}{7-m-8+1}>0\Leftrightarrow \frac{m-13}{-m}>0\Leftrightarrow 0<m<13.\)

Kết hợp điều kiện ta có \(0<m<7.\) Mà \(m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.\)

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.