Tìm tất cả các giá trị của m đồ thị hàm số y = {x^4} - m{x^2} + 2m - 1 có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành bốn đỉnh của một hình thoi

Xét hàm số \(y = {x^4} - m{x^2} + 2m - 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 2mx = 2x\left( {2{x^2} - m} \right)\)

Khi \(m > 0:y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 2m - 1\\ x = \pm \frac{{\sqrt {2m} }}{2} \Rightarrow y = - \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1 \end{array} \right.\)

Ta có ba điểm cực trị là \(A\left( {0;2m - 1} \right),B = \left( {\sqrt {\frac{m}{2}} ; - \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1} \right),C = \left( { - \sqrt {\frac{m}{2}} ; - \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1} \right)\)

Tam giác ABC cân tại A.

OBAC là hình thoi khi \(H = \left( {0; - \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1} \right)\) là trung điểm BC cũng là trung điểm của OA.

Suy ra \(- \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1 = \frac{{2m - 1}}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 - \sqrt 2 \\ m = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\) (nhận).