ìm số giá trị nguyên của m để hàm số y = (m+1)x^4+(3m-10)x^2 + 2 có ba cực trị

Xét hàm số: $y = \left( {m + 1} \right){x^4} + \left( {3m - 10} \right){x^2} + 2$

Với m=-1, ta có hàm số $y = - 13{x^2} + 2$ chỉ có một điểm cực trị. Vậy m=-1 không thỏa yêu cầu bài toán.

Với $m \ne - 1,$ ta có:

$\begin{array}{l} y' = 4(m + 1){x^3} + 2(3m - 10)x = 2x\left[ {2(m + 1){x^2} + 3m - 10} \right]\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - \frac{{3m - 10}}{{2(m + 1)}}\,(*) \end{array} \right. \end{array}$

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 hay:

$\frac{{3m - 10}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{{10}}{3}$

Vậy m=0; 1; 2; 3 thỏa yêu cầu bài toán.