ìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + m + 2 có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành

Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m + 2.\)

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x;\forall x \in \mathbb{R}\)  

Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow y\left( 0 \right) = m + 2}\\ {x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = m - 2} \end{array}} \right.\)

\(\Rightarrow y\left( 0 \right).y\left( 2 \right) = {m^2} - 4.\)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục hoành thì: \(y\left( 0 \right).y\left( 2 \right) = {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\)