Tìm số thực m để hàm số y=1/3x^3+(1-2m)x^2+m+2 luôn đồng biến trên (0;+vô cực)

Xét hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + m + 2$ 

Hàm số $f(x)$ luôn đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi $f'\left( x \right) \ge 0$ với mọi $x\in \left( {0; + \infty } \right)$ và phương trình $$f'\left( x \right) =0$ có hữa hạn nghiệm trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

$y' = {x^2} + 2\left( {1 - 2m} \right)x \ge 0$, $\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 4mx \ge 0\\ \Leftrightarrow x + 2 - 4m \ge 0\,(Do\,x > 0)\\ \Leftrightarrow m \le \frac{{x + 2}}{4} \end{array}$

Xét hàm số $g\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{4}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Để $m \le g\left( x \right)$ với mọi $x \in \left( {0; + \infty } \right)$ thì $m \le \frac{1}{2}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của m thỏa mãn đề bài là $m = \frac{1}{2}$.