Tìm m để hàm số y=mx^3-x^2+3x+m-2 đồng biến trên (-3;0)

Hàm số đã cho có \(y' = 3m{x^2} - 2x + 3\)

Trường hợp m=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta xét trường hợp \(m\ne0\) 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-3;0) khi và chỉ khi \(y'\geq 0\) với \(\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\)

\(\Leftrightarrow 3m{x^2} - 2x + 3 \ge 0,\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\)      

Xét hàm số\(f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{3{x^2}}},\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 6x}}{{9{x^4}}} < 0,\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\) 

Từ bảng biến thiên suy ra với \(m \ge - \frac{1}{3}\) thì hàm số đồng biến trên khoảng (0;3)