Tìm m để hàm số f(x)=(sqrtx-3)/(sqrtx-3) nghịch biến trên (4;16)

Đặt \(\sqrt x = t \Leftrightarrow 2 < t < 4\).

Bài toán trở thành tìm m để hàm số  \(g\left( t \right) = \frac{{t - 3}}{{t - m}}\)  nghịch biến trên (2;4).

\(g\left( t \right) = \frac{{t - 3}}{{t - m}}\), TXĐ: \(D = \backslash \left\{ m \right\}\)

\(g'(t) = \frac{{3 - m}}{{{{(t - m)}^2}}}\)

Với m=3 thì \(f'(t) = 0,\forall t \ne 3\).

Với \(m \ne 3\) thì \(f'(t) \ne 0,\forall t \ne 3\).  

Vậy hàm số f(x)  nghịch biến trên (4;16) khi và chỉ khi g(t)  nghịch biến trên (2;4).

Điiều này xảy ra khi: \(g'(t) = \frac{{3 - m}}{{{{(t - m)}^2}}} < 0,\forall t \in (2;4) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \notin (2;4)\\ 3 - m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 4\).