Tìm m để hàm số y=(m-sinx)/cos^x nghịch biến trên (0;pi/6)

Đặt  \(t = \sin x,\,\,0 < x < \frac{\pi }{6} \Rightarrow 0 < t < \frac{1}{2}\)

Khi đó hàm số đã cho trở thành \(y = \frac{{m - t}}{{1 - {t^2}}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 1 + 2mt - {t^2}}}{{{{(1 - {t^2})}^2}}} \le 0\) 

Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) khi:

\(\begin{array}{l} - 1 + 2mt - {t^2} \le 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow t + \frac{1}{t} \ge 2m,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \end{array}\)

Xét hàm số:

\(\begin{array}{l} f(t) = t + \frac{1}{t} \Rightarrow f'(t) = 1 - \frac{1}{{{t^2}}} < 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\\ \Rightarrow \min \,f(t) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{5}{2} \end{array}\)

Vậy \(m \le \frac{5}{4}\).