Tìm giá trị tham số a để phương trình 2^(sin^2(x))+3^(cos^2(x))>=a.3^(sin^2(x))

Đặt \({\sin ^2}x = \alpha ,\,\alpha \in \left[ {0;1} \right]\). Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

\({2^\alpha } + {3^{1 - \alpha }} \ge a{.3^\alpha } \Rightarrow a \le \frac{{{2^\alpha } + {3^{1 - \alpha }}}}{{{3^\alpha }}}\,\left( 1 \right)\)

Xét phương trình \(f\left( \alpha \right) = \frac{{{2^\alpha } + {3^{1 - \alpha }}}}{{{3^\alpha }}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^\alpha } + {3^{1 - 2\alpha }}\) với \(\alpha \in \left[ {0;1} \right]\)

Ta có:  \(f'(\alpha ) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^\alpha }.\ln \frac{2}{3} - {2.3^{1 - 2\alpha }}.\ln 3 < 0,\forall \alpha \in \left[ {0;1} \right]\)

Vậy hàm số trên luôn nghịch biến trên  \(\left[ {0;1} \right]\)

Nên \(\mathop {\max }\limits_{\alpha \in \left[ {0;1} \right]} f\left( \alpha \right) = f\left( 0 \right) = 4\)

Vậy điều kiện để phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thực là: \(a \le \mathop {\max }\limits_{a \in \left[ {0;1} \right]} f\left( \alpha \right) = 4\)